tailieunhanh - Tuyển tập 30 năm tạp chí toán học và tuổi trẻ part 10

Tham khảo tài liệu 'tuyển tập 30 năm tạp chí toán học và tuổi trẻ part 10', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Bài toán 71 7 82 Già thiết trối lại cố thể xếp 5 hình cấu Sp S2 S3 S4 S5 có cùng bán kính B sao cho mồi hình cẩu tiếp xúc với 4 hỉnh cầu còn lại. Gọi Op ơ2 Oy OA O5 là tâm của 5 hình cẩu ẵy. Hình cáu Sị tiếp xúc với hlnh cầu Sị nên khoảng cách Ofì- bằng 2R. Từ đây suy ra ràng khoảng cách giũa hai tâm bẵt kì luôn luôn bầng 2R. Đặc biệt Op O2 O3 OA là 4 đỉnh của một tứ diện đêu có cạnh 2R. Nhưng ớ2 O3 OA O5 cũng là 4 đinh của một tứ diện đéu có cạnh 2R. Hai tứ diện này có chung đáy O2O3O4 thế thl hai đỉnh O1 và O5 của hai tứ diện ấy phải nằm vẽ hai phía khác nhau của đáy chung. Khí đó OịO5 2R và ta gặp mâu thuẫn. Bài toán 72 6 88 Trước hết ta xem sau khi người thứ nhất lăy C1 trên AB rổi thỉ người thứ hai phải lăy A1 trên AC như A thế nào để đạt được mục đích ó k của minh. Gọi A là điểm trÊn BC sao cho CjA ZAC. Dễ Ạ dàng chứng minh B Ai à c được rằng nếu Hình 2 người thứ hai lấy Aj nằm trong đoạn BA hình 2 hay lấy Aj nằm trong đoạn A C thỉ đéu không lợi bàng lấy A Ị A . Vậy sau khí người thứ nhất lấy Cj trên AB thỉ để đạt được mục đích của mình người thứ hai phải lấy A trên BC sao cho CjAl AC. Vấn dề còn lại là người thứ nhát phải lấy Cl như thế nào dề dạt dược diện tích A1B1C1 lón nhắt. Dễ thăy ràng với cách lấy Aj cùa người thứ hai đã chỉ ra ở trên thì dù Bị ở vị trí nào trên AC thỉ cũng không làm thay đổi diện tích tam giác A Cp Vỉ vậy ta có thể già sử Bt A. Dật AC1 X thì CjAị a X ta có dtA jCj X X a - x sinl20P 2. Diện tích AjB j lớn nhất yỊ khi tích số x a x lớn nhất tức là khi . X a X hay X a 2 Hai sổ V Ịý dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn 8 o nhất khi hai sổ dổ Hình 3 bàng nhau . Như vậy diên tích tam giác A B1C1 lớn nhất mà người thứ nhát đạt được bàng a 2 a 2 sinl2ơ72 a2tf3 16. Bài toán 73 3 179 Trước hết ta quy ước tập số M được gọi là có tính chổt T nếu M có thể được chia thành hai tập con rời nhau sao cho tổng của tất câ các phẩn tử của tập con này băng tổng cùa tất cả các phân tử của tập con kia. Theo bài