tailieunhanh - Tuyển tập 30 năm tạp chí toán học và tuổi trẻ part 4

Tham khảo tài liệu 'tuyển tập 30 năm tạp chí toán học và tuổi trẻ part 4', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | trong đường tròn úi hình 1 . Nếu M là một điểm ó ngoài ữ thi đoạn thẳng MA phải cát a tại một điểm M nào đổ hình 1 . Trong tam giác MMB ta cđ MB MB MM do đó MA M B MA MB MM MA MM MB MM . Vì MA MB k 1 nên MA MM MB MM MA MB và do đó MA M B M A MB. Các trường hợp khốc M ở trong cu cũng như k 1 cũng được chứng minh tương tự. Tỉnh chât đố giúp ta giải các bài toán cực trị sau đây Bài toán 1. Cho điểm M chạy trên một đường thẳng m và hai điểm. A B cố định ở ngoài m. Tìm những vị trí của diém M ỏ dó tỉ số MA MB đạt các giá trị nhỏ nhắt và lớn nhát. Hình ỉ Lời giải. a Trước hết xét trường hợp m không vuông góc với đường thẳng AB ta hãy vô đường tròn O qua A B và có tâm o trên đường thẳng m O là giao điểm của m với trung trực đoạn AB Ta sẽ chứng minh ràng các giao điểm Mp của đường tròn này với m là những điểm cân tìm hình 2 . Thật vậy gọi ỉ là giao điểm của tiếp tuyến tại của đường tròn O vớỉ đường thẳng AB. Nếu vẽ đường tròn ÍU tam ỉ bán kính IMĨ cất đường thẳng AB ỏ p Q thỉ ta cơ IM2 ĨÃ . ĨB hay IP2 ĨÃ . ĨB. Hệ thức này chúng tỏ rằng bốn điểm A B p Q thành một hàng điểm điểu hòa và do đó cu là đường tròn Apôlỗniút của cặp điểm A B ứng vối tỉ số MịA MỵB. vì M và Âf2 à hai phía khác nhau đối với đường trung trực đoạn AB nên trong hai tỉ số MtA MjB và M A M B cơ một cái nhỏ hơn 1 một cói lớn hơn 1 Ta giả sử M A MỵB 1 M A M B 1. Vối giả thiết đó và dể ý ràng m là tiếp tuyến của cu ta thấy mọi điểm M X My trên đường thầng m đểu ở ngoài cu nên theo tỉnh chăt trên ta cơ MA MB MyA MyB tức là tỉ SỐ MA MB đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm Àfj. Nếu để ý rằng nếu M2B MjA 1 thì tương tự trôn ta thSy vói mọi diem M M2 trên đường thảng m ta đẽu có MB MA M_B NLA hay MA MB M A M B tức là tỉ sơ MA MB đạt giá trị lớn nhắt tại điểm M2. b Bây giờ xét trường hợp đường thẳng m vuông gổc với AB. Nếu m là trung trực của đoạn AB thì tỉ s6 MA MB luôn luôn bằng 1. Ngược lại nếu m cát đưòng thẳng AB tại điểm H và HA HB thỉ với mọi điểm M thuộc m ta có MA MB - 4 HA2 HM2 HB2 HM2 . Để ý ràng HA HB 1 ta .