tailieunhanh - Tuyển tập 30 năm tạp chí toán học và tuổi trẻ part 3

Tham khảo tài liệu 'tuyển tập 30 năm tạp chí toán học và tuổi trẻ part 3', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | XA LẠ MÀ GẦN GŨI NGUYỄN CÁNH TOÀN Bạn đọc hãy thử xem hai định lí quen thuộc sau đây Định lí 1. Trong một tam giác dường trung bình bàng nửa cạnh đáy. Định lí 2. Trong một tam giác tổng bỉnh phưong hai cạnh bàng nửa bình phương cạnh thử ba cộng với hai lăn bình phương trung tuyến tưong ứng. Quan hệ giữa đường trung bình và các cạnh thật đơn giản định lí 1 còn quan hệ giữa trung tuyến vối các cạnh khá phức tạp định lí 2 . Xem ra nội dung hai định lí chảng bà con chi . Nếu có xem xét các chứng minh hai định lí trên cũng sẽ không thấy ràng khi chứng minh định lí này chẳng hẽ dùng đến định lỉ kia. Nhưng sự xa lạ giữa hai định lí chì là bẽ ngoài. Chỉ cẩn đổi cách nhìn đi một chút đã cảm thấy có sự gắn gũi. Quả vậy hãy xem tam giác ABC như một tứ giác có bổn cạnh BA AA 0 AC CB thì đã thấy ngay sự bình đảng giữa đường trung bình nối trung điểm cùa hai cạnh đối diện BA AC và trung tuyến nđi trung điểm của hai cạnh đối diện AA BC . Vậy thì tại sao quan hệ giữa chúng với các cạnh lại khác xa nhau đến thế Oc tò mò khoa học thúc giục ta nghiên cứu các quan hệ trong một tứ giác BAA C giữa các cạnh và một đường trung bình đoạn nói trung điểm hai cạnh đối diện . Hình i Gọi ỉ K lán lượt là trung điểm hai cạnh đói diện AA BC và M N lần lượt là trung điểm hai cạnh đối diện ABA C. Định lí 2 gợi ý ta tịnh tiến cạnh AB đến vị trí JP vẫ cạnh A C đến vị trí ĨQ. Hai tam giác KBP và KCQ bàngjihau vì pp QC AA72 . KB JỈC ỵẳ PBK QCK. Từ dơ suy ra PKB QKC nên p Q K thẳng hàng. Ngoài ra KP KQ nên IK là trung tuyến của tam giác IPQ. Theo định lí 2 thỉ 4HỊf2 2 ỈPZ IQ2 - PQ2 2 1 p2 IQ2 - - IP2 IQ2 2IP . hay 4IỊ _ IP2 IQ2 2IP . ĨQcosa AB2 A C2 2AB . A C A C là hình chiếu vuông góc cùa A C xuống dưòng thảng AB nếu ta chú ý rằng cosa và AB .A C ỉuốn luồn cùng dấu. Nhưng 2AB -A C 2ÃB MỠ - MA 2AB MỠ - 2AB . MÃ AC2 - BC2 - AA 2 - BA 2 Vậy 4ỈK2 AB2 A C2 BA 2 AC2-AA 2-BC2 1 Hoán vị vai trò của các cặp cạnh đói diện AA1 BC và AB _AC _ta được 4MN2 AA 2 BC2 BA 2 AC2-AB2-A C2 2 Nếu A trùng với A .