tailieunhanh - Phân phối xác suất của hàm biến ngẫu nhiên trong xác suất thống kê

Phân phối xác suất của hàm biến ngẫu nhiên Giả sử ta đã biết phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X và g là một hàm Borel bất kỳ. Khi đó, Y = g(X) cũng là một biến ngẫu nhiên. Ta sẽ đi xác định mối quan hệ giữa phân phối xác suất của X và của Y. 1. Trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc Định lý . Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X và Y = g(X). Giả sử giá trị của X có tính chất phân phối là các với j = 1, 2,.Khi. | T- l 1 Ấ r 1. -7 1 A 1 Ấ X 1 V Phân phôi xác suất của hàm biên ngâu nhiên Giả sử ta đã biết phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X và g là một hàm Borel bất kỳ. Khi đó Y g X cũng là một biến ngẫu nhiên. Ta sẽ đi xác định mối quan hệ giữa phân phối xác suất của X và của Y. 1. Trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc Định lý . Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X và Y g X . Giả sử xh 2 Xi3 là các . . g Xi. yt . . .A X giá trị của X có tính chất J với j 1 2 .Khi đó biến ngẫu nhiên Y sẽ có phân phối P Y yi p x X J 1 i 1 2 . Ví dụ . Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất X -1 0 1 2 P 0 3 0 1 0 2 0 4 Xác định phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên a- U 2X 1 b- V lxl Giải. a- U 2X 1 sẽ nhận các giá trị -1 1 3 5. Ta có P U -1 P X -1 0 3 P U 1 P X 0 0 1 P U 3 P X 1 0 2 P U 5 P X 2 0 4 Vậy phân phối xác suất của U là U -1 1 3 5 P 0 3 0 1 0 2 0 4 b- V 11 sẽ nhận các giá trị 0 1 2. Ta có P V 0 P X 0 0 1 P V 1 P X -1 P X 1 0 5 P V 2 P X 2 0 4 Vậy phân phối xác suất của V là V 0 1 2 P 0 1 0 5 0 4 2. Trường hợp X là biến ngẫu nhiên liên tục a. Nếu Y g X là biến ngẫu nhiên rời rạc Giả sử Y yi khi X ai bi . Khi đó P Y y i P X e a. b. b f x dx Ví dụ . Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ r 1 F z 2x2 0 nếu ịx I 1 YỚi các X khác Xác định phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y sg X 2 trong đó sể x 1 1 1 nếu X ũ nếu X Ũ Giải. Ta thấy Y là biến ngẫu nhiên rời rạc vì 1 -1 neu X -2 neu X -2 Từ đó P Y 1 P X -2 J dx j- dx 2 2 X 1 X 3 4 _ 1 -ị 1 . 1 P X -2 i- dx P Y -1 2- x