tailieunhanh - Phân phối điều kiện và kỳ vọng điều kiện trong xác suất thống kê

Phân phối điều kiện và kỳ vọng điều kiện 1. Phân phối điều kiện Định nghĩa . Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất đồng thời P(X = x, Y = y) = p(x, y). Khi đó, phân phối điều kiện của X cho bởi Y = y được xác định bởi: Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì. Ví dụ . Gieo 1 xúc xắc, giả sử mặt có X chấm xuất hiện. Tiếp tục gieo X đồng xu và giả sử Y là số lần mặt sấp xuất hiện | Phân phôi điều kiện và kỳ vọng điều kiện 1. Phân phối điều kiện Định nghĩa . Cho X Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất đồng thời P X x Y y p x y . Khi đó phân phối điều kiện của X cho bởi Y y được xác định bởi Nếu X Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì Y F X - z . Ví dụ . Gieo 1 xúc xắc giả sử mặt có X chấm xuất hiện. Tiếp tục gieo X đồng xu và giả sử Y là số lần mặt sấp xuất hiện. Xác định p x y và pY y . . . . . Giải. Giả sử X x thì Y là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B x 2 . Vậy . . . _ Y1W1Y . . PY xờK l Cx Jj jj 2 Cx vứiO y z. Từ đó vlx ì C 0 y x 1 x 6 p x y P X x Y y p ưlz px x 6 và phân phối của Y là . . Ế 2 x . _ Pyớ ế Cĩ x y Õ Ví dụ . Cho X Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Poisson tham số lần lượt là 1 I Xác định phân phối điều kiện của X cho bởi X Y n. Giải. Ta có Pí-V lclx Y nì P X k X Y F X k Y a k 1 F X Y QJ F X Y iĩ F X k F Y EL - k F X Y à n- l X r 1 í- 1 1 - Ầ -K T X T 1 V 1 Ă n . 1 Ắ . . Theo Ví dụ bài học tuần 9 X Y cũng có phân phối Poisson tham số -I . Từ đó f x k x . F x j rk 1 P X Y n nĩ _ Qk k n-k 1 n Q íj n-k íj hay phân phối của X với điều kiện X Y n là phân phối nhị thức tham số n và 1 Định nghĩa . Cho X Y là các biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời fX Y x y . Khi đó hàm mật độ điều kiện của X cho bởi Y y được xác định bởi fx xíY y fx r z y Nếu X Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì Từ định nghĩa trên ta có Hàm mật độ của X CkO Jfx r x y dy f fx T x y My dy Với tập D bất kỳ P XeD Y y Jfx Y z y dz D Hàm phân phối của X Fx r a y P K a Y y i fx T z y .