tailieunhanh - ỨNG DỤNG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Tham khảo tài liệu 'ứng dụng sự tồn tại nghiệm của phương trình bậc ba vào chứng minh bất đẳng thức', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Biên Hoà Đồng Nai ỨNG DỤNG Sự TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VÀO CHỨNG MINH BẤT đẳng thức Định lí Viet đối với phương trình bậc ba được phát biểu như sau Nếu phương trình ax3 bx2 cx d 0 a 0 có ba nghiệm x1 x2 X3 thì x- x x3 ------------------------------- 1 2 3 a x x2 x2x3 x3x d x1 x2x3 T c a Ngược lại với ba số thực a b c bất kì thì chúng là nghiệm của phương trình x3 mx2 nx p 0 Với m a b c n ab bc ca p abc Do đó từ sự tồn tại nghiệm của phương trình sẽ dẫn tới các bất đẳng thức ba biến a b c Trong bài viế t này sẽ giới thiệu với bạn đọc ứng dụng của việc làm đó. 2 3 Đặt x y 7 n 3 -------- ------p Ta thu được phương trình y3 ay 3 0 Số nghiệm của chính là số giao điểm của đồ thị C f y y3 ay 3 với trục hoành Ta có f y 3y Nếu Nếu 2 a thì f y 0 Vy nên phương trình có đúng 1 nghiệm thì phương trình có nghiệm bội ba. a 0 0 a Nếu Suy ra 27 32 - 4a3 27 a 0 3 Hay là 27p 2m3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P thì f y 0 có hai nghiệm y1 3. y2 7 f yi 2ĩề 9 f y2 -2aễ 3 f y .f y2 32 - 4 Do đó ta có Phương trình có ba nghiệm có thể trùng nhau khi và chỉ khi f y1 .f y2 0 4a3 2732 0 9mn ị 3n 1 . Bây giờ ta đi xét một số trường hợp đặc biệt sau 1 Cho m 0 khi đó 1 trở thành 4n3 27p2 0 p2 27n3 Thí dụ 1. Cho các số thực a b c không đồng thời bằng 0 thỏa a b c 0 13a2b2c2 2abc 2 a2 b2 c2 3 Lời giải. Đặt n ab bc ca p -abc Nguyễn Tất Thu 1 THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Biên Hoà Đồng Nai Suy ra a b c là ba nghiệm của phương trình x3 - mx n 0 4 Ta có p2 - n3 -27 p2. 21 4 Do đó 1 3p2 2p - 2 2n3 1 3p2 2p - 2 - p2 a2 -p - 1 2 0 Suy ra 13p2 2p - 2 -2n3 13a2b2c2 - 2ab - 2 -2 ab bc ca 3 Mà a 4 b 4 c 0 x ab 4 bc 4 ca 2 a 4 b 4 c Dần tới 13a2b2c2 - 2abc - 2 1 a2 b2 c2 P 1. 4 4 n 2 m 3 Đẳng thức xảy ra a b c là ba nghiệm của phương trình x3 - 3x 2 0 x -1 2 x 2 0 x 1 x -2 Vậy max P 4 đạt được khi a b c 1 1 -2 và các hoán vị. Thí dụ 2. Cho các số thực a b c có tổng bằng 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a2 b2 c2 - 32 ab bc ca a2b2c2 - 8 abc . Lời giải. Đặt n

• Toán học
• Bất đẳng thức thuần nhất bậc
• đồng bậc hóa bất đẳng thức
• chuẩn hóa bất đẳng thức
• lớp hàm đối xứng sơ cấp
• hàm sơ cấp ba biến
• Bất đẳng thức Cauchy
• tài liệu Toán học
• tài liệu bất đẳng thức
• chuyên đề bất đẳng thức
• bất đẳng thức dạng thuần bậc nhất
• luyện tập bất đẳng thức
• Bất đẳng thức dạng thuần nhất
• Cauchy
• Holder
• Minkowski
• Chebychev
• bất đẳng thức sơ cấp
• bất đẳng thức Chebychev
• các dạng toán bất đẳng thức
• giáo án hình học nâng cao
• chuyên đề ôn thi toán
• đề thi môn toán
• đề thi thử đại học
• luyện thi môn toán
• bất đẳng thức