tailieunhanh - HÀM NHIỀU BIẾNTRONG XÁC SUẤT THỐNG KÊ (Nguyễn Ngọc lan) - 2

Định nghĩa hàm số ẩn 1 biến: Cho phương trình F(x,y) = 0 Nếu tồn tại hàm y = f(x) sao cho F(x,f(x)) = 0, x (A,B) thì f được gọi là hàm số ẩn từ phương trình F(x,y) = 0. Ví dụ: xy – ex + ey = 0 Đạo hàm của hàm số ẩn 1 biến: y= Fx Fy Ví dụ: Tính y’ nếu: F(x,y) = x3 + y3 – 3axy = 0 F(x,y) = xy – ex + ey = 0 Định nghĩa hàm số ẩn 2 biến: Cho phương trình F(x,y,z) = 0. Nếu tồn tại hàm số hai. | Định nghĩa hàm số ẩn 1 biến Cho phương trình F x y 0 Nếu tồn tại hàm y f x sao cho F x f x 0 Vx e A B thì f được gọi là hàm số ẩn từ phương trình F x y 0. Ví dụ xy - ex ey 0 Đạo hàm của hàm số ẩn 1 biến y - Fx Fy Ví dụ Tính y nếu F x y x3 y3 - 3axy 0 F x y xy - ex ey 0 Định nghĩa hàm số ẩn 2 biến Cho phương trình F x y z 0. Nếu tồn tại hàm số hai biến z f x y sao cho F x y z 0 với mọi x y thuộc miền xác định của f thì f gọi là hàm ẩn từ phương trình F x y z Đạo hàm của hàm số ẩn 2 biến dz -FL õz y õx Fz õy Fz Ví dụ tính zx zy nếu xyz cos x y z 4. CỰC TRỊ Cực trị tự do Định nghĩa Hàm số f x y đạt cực đại cực tiểu tại điểm M0 x0 y0 nếu tồn tại một lân cận A của Mo sao cho f M f M0 VM e A f M f M0 VM e A . F M0 gọi chung là cực trị. Ví dụ Tìm cực trị của hàm số z x2 y2 Điều kiện cần để có cực trị Nếu f x0 y0 là cực trị của f và f có đạo hàm riêng tại x0 y0 thì fx x0 y0 0 fy x0 y0 0 Điều kiện đủ của cực trị Cho hàm số z định thức Hessian H yx f x y . Tại những điểm thỏa zx zy 0 ta gọi ZXy Zyy z z Đặt H1I z Zyy H 2 Nếu H1 0 H2 0 z đạt cực tiểu Nếu H1 0 H2 0 z đạt cực đại Ví dụ tìm cực trị hàm số z x2 y2 4x - 2y 8 z x3 y3 Điều kiện đủ của cực trị Cho hàm số y f xbx2. xn . Tại những điểm thỏa fx1 fx1 . fx1 0 giả sử tại đó tồn tại các đạo hàm riêng cấp 2 đặt Ta có định thức Hessian H1I 1 MIH 21 f11 f12 f21 f22 f11 f12 f21 f22 I H. f11 f21 f12 f22 f11 f12 f21 f22 f2n fn1 frí2 f. f J n1 J n f J nn Nếu H1 0 H2 0 . Hn 0 z đạt cực tiểu Nếu H1 0 H2 0 . -1 n Hn 0 z đạt cực đại Ví dụ Tìm cực trị hàm số y x3 y2 2z2 -3x - 2y - 4z Cực trị có điều kiện Định nghĩa Cực trị của hàm số z f x y với điều kiện g x y c gọi là cực trị có điều kiện. Định lý Nếu M0 x0 y0 là cực trị có điều kiện trên. Đặt hàm Lagrange L x y À f x y À c-g x y với g x g y không đồng thời bằng 0 thì Lx fx - Ằgx 0 Ly fy - Ảgy 0 LẢ c - g X y