tailieunhanh - Hàm đặc trưng - Định lý giới hạn trung tâm trong xác suất thống kê - 1

Hàm đặc trưng - Định lý giới hạn trung tâm 1. Hàm đặc trưng: Định nghĩa và các tính chất Định nghĩa . Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu C xác định bởi X(t) R, i là đơn vị ảo. Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất P(X = xk) = pk với thì hàm đặc trưng của X là X(t) Nếu X có phân phối liên tục tuyệt đối với hàm mật độ f(x) thì hàm đặc trưng X là Ví dụ . Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối Ví dụ | Hàm đặc trưng - Định lý giới hạn trung tâm 1. Hàm đặc trưng Định nghĩa và các tính chất Định nghĩa . Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X ký hiệu X là hàm X R C xác định bởi X t E e t G R i là đơn vị ảo. Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất P X xk pk với Xto 1 thì hàm đặc trưng của X là X t _itK e pk Nếu X có phân phối liên tục tuyệt đối với hàm mật độ f x thì hàm đặc trưng X là Ví dụ . Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức tham số n p. Xác định hàm đặc trưng của X. Giải. Ta có P X k Ckpk l-p Q-k k o Từ đó Ễe cytl-p -1 pc p a-p -1 e p l-p x t l l Ví dụ . Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson tham số 0. Xác định hàm đặc trưng của X. Giải. Ta có V X 7 e e 7. e e O x t k k e Ví dụ . Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối mũ tham số 0. Xác định hàm đặc trưng của X. Giải. Ta có co r 00 r 9. r e dz ne W ídz -3 x t 0 0 -it Ví dụ . Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn tắc N 0 1 . Xác định hàm đặc trưng của X. Giải. Ta có -tw 1 K- 1 4 - - J e 2 dx 2 e 2 Je 2 d x it e 2 x t a 2tt V2k a Tính chất . Tính chất của hàm đặc trưng 0 1 -1- X t -ivới mọi - t . Hàm đặc trưng X t liên tục đều trên toàn bộ đường thẳng. aX b t eitb X at a b là các hằng số Nếu dãy biến ngẫu nhiên X1 . Xn độc lập thì hàm đặc trưng của tổng II Ỵ--ĩv .-. . . . bằng tích các hàm đặc trưng của từng biến nghĩa là Ty t Ị Ị Tx t i-1 Ví dụ . Giả sử biến ngẫu nhiên Y có phân phối chuân N a . Xác định hàm đặc trưng của Y. x v . . v _ _A_ Giải. Đặt ơ thì X có phân phối chuân tăc N 1 . Do Y ƠX a .