tailieunhanh - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG XYZ

Tham khảo tài liệu 'một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức dạng xyz', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Dương Văn Sơn - Giáo viên trường THPT Hà Huy Tập Vinh - Nghệ An. MỘT SÓ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤ T ĐẲNG THỨC CÓ CHỨA BIỂU THỨC XYZ Bài toán Chứng minh b ất đẳng thức BĐT có chứa biểu thức xyz trong đó x y z là các số thực không âm có vai trò bình đẳng và BĐT tương đương với xyz n P x y z với ne N P x y z là đa thức thường gây rất nhiều khó khăn cho học sinh vì việc đánh giá xyz n P x y z là không thuận lợi . Trong bài viết này tác giả xin giớ i thiệu mộ t s ố kĩ năng để giả i bài toán d ạng này. 1. Sử dụng BĐT Với x y z là các số thực không âm tùy ý ta có x y - z x z -y ỵ z- x xyz 1 . Thí dụ 1. Cho x y z là các số thực không âm thỏa mãn x y z 1. Chứng minh răng 0 xy yz zx-2xyz -4-. Đề thi IMO năm 1984 Lời giải. Áp dụng 1 và giả thiết ta có 1 - 2x 1 - 2y 1 2z xyztt 1 2 x y z 4 xy yz zx 8xyz xyz . xyz l Suy ra xy yz zx - 2xyz 3 1 Mặt khác ta có xyz x y z 3 27 2 3 Từ 2 và 3 suy ra xy yz zx - 2xyz . Ngoài ra từ giả thiết suy ra 0 x y z 1. Do đó xy yz zx lxyz xy 1 z yz 1_ x zx 0. 2. Sử dụng tính chất Trong ba số x y z luôn tồn tại ít nhất hai số sao cho chúng cùng không lớn hơn a ho ặc cùng không nhỏ hơn a vớ i a là số thực tùy ý 4 . Thí dụ 2. Cho x y z là các số thực không âm thoả mãn xy yz zx xyz 4 . Chứng minh răng x y z xy yz zx. Đẳng thức xảy ra khi nào. Đề thi học sinh giỏi Quốc gia năm 1996 Lời giải. Theo tính chất 4 và vai trò x y z trong bài toán bình đẳng nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử x 1 U1 x 1 . V 1 hoặc Khi đó ta có 1-x 1 y 0 xy 1 x y Suy ra z xy 1 z x y xyz z xz yz o xyz xy z xy jz zx 5 Ta sẽ chứng minh x y z xyz xy z 6 Thật vậy 6 í x y z 4-xy yz-zx xy z x y z l 4 7 Web page See on Dương Văn Sơn - Giáo viên trường THPT Hà Huy Tập Vinh - Nghệ An. Nếu x y 0 trở thành 0 4 vô lí. Do đó x y xy 0 và từ ta có _ 4 - xy z - x y xy Vì thế 7 x y 1 x 4 x y xy o x y x y 4 4 x y xy Vì x y xy o o x-y 2 0 đúng. Từ 5 và 6 suy ra điều phải chứng minh. Trong trường hợp này đẳng thức xảy ra khi x