tailieunhanh - Một số bất đẳng thức đại số và bài toán GTLN và GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi cao đẳng - đại học

Tài liệu tham khảo giúp rèn luyện trình độ tư duy nhạy bén về các dạng bất đẳng thức. | TỔ TOÁN - TIN TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM THAM LUẬN MỘT Số BẤT ĐẲNG thức đại Số và BÀI TOÁN GTLN GTNN CỦA BIỂU THỨC ĐẠI Số TRONG CÁC ĐỀ thi CĐ - ĐH Bất đẳng thức là một mảng kiến thức khó của toán học phó thông nó thường xuyên xuất hiện trong các đề thi HSG cũng như thi tuyển sinh CĐ - ĐH. Đã có rất nhiều tác giả nhiều tài liệu đề cập về bât đẳng thút hôm nay trong khuôn khó của một buói sinh hoạt chuyên môn cụm 6 chúng tôi xin được phép giới thiệu lại một sõ bất đẳng thúc và bài toán GTLN GTNN của một sõ biêu thúc đại sõ đã được ra thi hoặc tương tự với các dạng trong đề thi CĐ - ĐH trong những năm vừa qua. I. Dạng sử dụng bất đẳng thức Cauchy AM - GM cho 2 số . . . _ a b V a b 0 Vab đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b 1 Ví dụ 1 Cho a b c là các số dương thỏa a 11 4. bc 111 Chứng minh răng ----- --- ---- ----- 2a b c a 2b c a b 2c 1 TSĐH - Khối A - Năm 2005 Nhận xét Với x y 0 ta có 4xy x y 2 Dấu xảy ra a b Áp dụng kết quả trên ta có ----1--- 1 j 2a b c-4 2a b c j x y 1 1 í1 1 ì 4xy x y 4 x y 7 1 1 4 2a 1 í1 1 41 b c j 1 í 1 ì 8 a 2b 2c j 1 1 1 í 1 1 1 ì Tương tự . .2 . 8 Ề b 2cì 2 1 1 í 1 1 1 ì a b 2c 8 2a 2b c j 3 m .z_ _ 1 1 1 1 í 111 ì _ Từ 1 2 và 3 suy ra 2a 4 c a . b i i b ij 1 a b c Dấu xảy ra 1 1 1 1 - -. a b c 3 4 a b c 1 Ví dụ 2 Cho x y z là các số dương thỏa 1 4 9 - 1 xyz Tìm GTNN của biểu thức Ta có P x y z x y z . 14 í 1 1 x ỵ ì x 7 4 y í 9x lz 9 ì z 7 z - x 4x y 9x z 9y 4z -2- 2 . yx V z x V z y ì í 9y 4zì 7 l z y 7 14 4 6 12 36 P x y z . 4 l y Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 96 TỔ TOÁN - TIN TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM Dấu xảy ra 1 4 9 - - - 1 x y z 4x y 9x _ . y x z z x 9y z 4z y z 18 x 6 1 y 12 Vậy Pmin 36 khi x 6 y 12 z 18 . ũ Bài tập tương tự 1. Cho a b c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng 4a 9b 16c 26 b c - a c a - b a b - c 2. Cho x y z 0 và thỏa xyz 1. Tìm GTNN của biểu thức P yz zx xy r xy xz yz yx zx zy ũ Hướng dẫn 1. Đặt x b c