tailieunhanh - Chuyên đề toán học về Hệ phương trình

Tài liệu tham khảo chuyên đề toán học về Hệ phương trình | HỆ PHƯƠNG trình hệ phương trình cơ bản A. Hệ phương trình đối xứng Dạng í f X y 0 g x y 0 mà ở đó vai trò của x y như nhau. Tức là í f x y f y x . g x y g y x . Cách giải Thông thường người ta đặt ẩn phụ S x y hay S x - y P xy f S P 0 sau đó tìm được S P và tìm được các nghiệm x y g S P 0 Ví dụ Giải hệ x2 y xy2 6 xy x y 5 Như đã nói ở trên ta hãy đặt S x y P xy và hệ đã cho trở thành í í SP 6 S 2 S 3 í _ í _ _ hay í _ S P 5 Ịp 3 p 2 Từ đây ta dễ dàng tìm được các nghiệm x y sau x y 1 2 2 1 Nhưng để phương pháp trên áp dụng hữu hiệu thì ta nên biến đổi một chút các ẩn số để sau khi đặt ẩn phụ ta được những phương trình nhẹ nhàng hơn Ví dụ 1 xy x y 5 x 1 3 y 1 3 35 Đặt S x 1 y 1 P x 1 y 1 ta sẽ có hệ phương trình sau P 6 S 5 ì x 3 ìx 2 í í _ hay í S S2 -3P 35 ịp 6 y 2 y 3 Ví dụ 2 í x y x2 y y 8 xy x 1 y 1 12 Ở đây theo thông lệ chúng ta hãy thử đặt S x y í ta thu được hệ sau _ P xy S2 S - 2 P 8 P P S 1 12 Rõ ràng mọi chuyện không đơn giản chút nào. Tuy nhiên có lẽ các bạn cũng sẽ nhận ra sự tinh tế trong bài tóan đó là ở bậc của mỗi phương trình. Phương trình đầu tiên bậc 2 có lẽ chứa P. Thể nhưng nó không ở một dạng tích thuận tiện nào trong khi phương trình thứ hai lại ở dạng tích và bậc 4 gấp đôi bậc 2. Nếu các bạn nhìn trong biểu thức S và P bậc của P gấp đôi bậc của S như vậy phải chăng phương trình thư nhất là S thứ hai là P. Nếu vậy thì các giá trị x và y trong P là gì. Quan sát phương trình thứ hai các bạn có thể dễ dàng nhận ra sự tinh tế này đó là x x 1 và y y 1 . Từ ý tưởng này ta đặt a x x 1 b y y 1 Hệ đã cho tương đương với a b 8 í . _ ab 12 a 6 hay í b 2 a 2 b 6 Như vậy x y là nghiệm của các phương trình sau i t2 1 2 t1 1 V t2 -2 ii t2 1 6 t3 2 V t3 -3 Tóm lại nghiệm của hệ đã cho là x y 1 -2 -2 1 2 -3 -3 2 í B. Phương trình đối xứng lọai 2 f x y 0 f y x 0 Đối với dạng hệ phương trình này ta có thể đưa về một dạng hệ tương đương sau f x y - f y x 0 f x y f y x 0 Hệ phương trình mới mà các bạn thu được là một hệ đối xứng hay nửa đối xứng mà ta h x