tailieunhanh - [Toán Học] Các Loại Tập Hợp Số Phần 3

Các tính chất 1), 2) và 3) có được do f là một đồng cấu từ nhóm cộng X đến nhóm cộng Y. Bây giờ ta chứng minh tính chất 4) và 5). 4) Giả sử A là một vành con của vành X. Khi đó OX ∈ A và OY = f(OX) ∈ f(A). Nếu y1 và y2 là hai phần tử thuộc f(A) thì tồn tại a1, a2 thuộc A sao cho y1 = f(a1), y2 = f(a2). | csc tÊp hip sè 4 Nếu A là một vành con của X thì f A là một vành con của Y. 5 Nếu B là một vành con của Y thì l B là một vành con của X. Chứng minh Các tính chất 1 2 và 3 có được do f là một đồng cấu từ nhóm cộng X đến nhóm cộng Y. Bây giờ ta chứng minh tính chất 4 và 5 . 4 Giả sử A là một vành con của vành X. Khi đó OX e A và OY f OX e f A . Nếu y1 và y2 là hai phần tử thuộc f A thì tồn tại a15 a2 thuộc A sao cho y1 f a1 y2 f a2 . Suy ra yi - y2 f ai - f a2 f ai - a2 e f A . và yiy2 f ai f a2 f aia2 e A. Vậy f A là một vành con của Y. 5 Giả sử B là một vành con của vành Y. Khi đó f OX OY e B nên OX e f-i B . Giả sử xi5 x2 là hai phần tử thuộc fi B khi đó f xi e B và f x2 e B. Từ đó suy ra f xi - x2 f xi -f x2 e B và f xix2 f xi f x2 e B. Nghĩa là xi - x2 e f-i B và xix2 e f-i B . Vậy f-i B là một vành con của vành X. Định lí . Cho f X - Y và g Y - Z là hai đồng cấu vành. Khi đó gf là một đồng cấu từ vành X đến vành Z. Chứng minh Giả sử f X Y và g Y Z là hai đồng cấu với mọi a b thuộc X ta có gf a b g f a b g f a f b g f a g f b gf a gf b . gf ab g f ab g f a f b g f a g f b gf a gf b . Nhận xét. Cũng như đối với đồng cấu nhóm. Nếu f g là hai đơn cấu toàn cấu đẳng cấu thì gf cũng là một đơn cấu toàn cấu đẳng cấu . . Vành trường sắp thứ tự Định nghĩa Cho X là một vành giao hoán có đơn vị. Nếu trên X có một quan hệ thứ tự toàn phần sao cho i Với mọi a b c thuộc X a b kéo theo a c b c ii Với mọi a b c thuộc X nếu a b và 0 c thì ac bc thì ta gọi X là vành sắp thứ tự. 39 csc tÊp hip sè Cho X . là một vành sắp thứ tự. Nếu x 0 và x 0 thì ta nói x 0. Đặt P x e X x 0 . P được gọi là tập các phần tử dương của X. -P x e X - x e P . -P được gọi là tập các phần tử âm của X. Khi đó ta có các tính chất sau 1 Nếu a b thuộc P thì a b e P. 2 Vx e X x e P - x e P. 3 P u 0 u -P X P n -P 0. Định nghĩa . Vành X được gọi là một vành sắp thứ tự Acsimet nếu với mọi a b thuộc X a 0 tồn tại số tự nhiên n sao cho na b. Đối với trường ta có định nghĩa tương tự. Ví dụ 10