tailieunhanh - Introduction to Thermodynamics and Statistical Physics phần 8

Hãy xem xét một tụ điện có điện dung C kết nối song song với một cuộn cảm có độ tự cảm L. Hãy q là phí được lưu trữ trong tụ điện. Năng lượng động trong trường hợp này, T = LQ 2 / 2 là năng lượng được lưu trữ trong điện dẫn, ˙ Các điện tử được giới hạn trong một phần của chiều dài L. Tại không nhiệt độ τ = 0 tính toán tỷ lệ U / εF | Chapter 3. Bosonic and Fermionic Systems 4 4 4 de 2 a2 J Thus by introducing the density of states D e V 3 2eV e 0 v 0 e 0 one has L log ZgC 1 X Í de D e log 1 A exp -d e El . 1 -L Energy and Number of Particles Using Eqs. and for the energy U and the number of particles N namely using U - o V U V dp X 39 N A i one finds that L U 1 X Ị de D e e El fFD e El 1 -L L N 1 X Ị de D e fFD e El l -L where fFD is the Fermi-Dirac distribution function see Eq. fFD e 1 . exp P e - m 1 Example Electrons in Metal Electrons are Fermions having spin 1 2. The spin degree of freedom gives rise to two orthogonal eigenstates having energies E and E- respectively. In the absent of any external magnetic field these states are degenerate namely . _ E-. For simplicity we take . _ E- 0. Thus Eqs. and become Eyal Buks Thermodynamics and Statistical Physics 112 . Fermi Gas tt U Ị deD s s fd e tt tt N Ị de D e fd s tt Typically for metals at room temperature or below the following holds T c u-Thus it is convenient to employ the following theorem Sommerfeld expansion to evaluate these integrals. Theorem . Let g e be a function that vanishes in the limit e TO and that diverges no more rapidly than some power of e as e TO. Then the following holds tt I deg e fd e tt Ĩ J . n2g u 1 4 7 deg e 4 - O Ể tt Proof. See problem 7 of set 3. With the help of this theorem the number of particles N to second order in T is given by N ZdsD s 22D u . tt Moreover at low temperatures the chemical potential is expected to be close the the Fermi energy Sf which is defined by eF lim u . T Go Thus to lowest order in u eF one has M f y de D e y de D e u eF D eF O u eF 2 tt tt and therefore N No u Sf D sf n T D Sf where Eyal Buks Thermodynamics and Statistical Physics 113 Chapter 3. Bosonic and Fermionic Systems F No y de D e is the number of electrons at zero temperature. The number of