tailieunhanh - Bài tập toán cao cấp - Phần 1

Tài liệu tham khảo Bài tập toán cao cấp theo chuyên đề | Đề tài 2: Câu 1: Cho hàm hai biến . Tính Câu 2: Cho hàm hai biến . Tìm cực trị Giải hệ: Ta xác định được 4 điểm dừng: Câu 3: Tìm cực trị của hàm với điều kiện . Đặt: Ta có: Xác định điểm dừng: Xét Vậy hàm số đạt cực tiểu tại Câu 4: Xác định cận của tích phân: Trong đó D là miền giới hạn bởi các đường: . Ta có phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường Câu 5: Đổi thứ tự tính tích phân: Dựa vào đồ thị ta xác định được 2 miền: Dựa vào đồ thị ta xác định đươc cận của tích phân là: Câu 6: Đổi thứ tự tính tích phân: Câu 7: Đặt Trong đó D là tam giác có các đỉnh là Dựa vào đồ thị ta xác định đươc cận của tích phân là: Câu 8: Tính tích phân Câu 9: Tính tích phân Trong đó D là hình vuông Câu 10: Tính tích phân Trong đó D là miên định bởi Câu 11: Tính tích phân Trong đó D là miền giới hạn bởi các đường và Câu 12: Tính tích phân Trong đó D là nửa hình tròn Đặt: câu 13: Gọi S là diện tích của miền giới hạn bởi các đường: Tính S. Câu 14: Tính tích phân Trong đó Ω là hình lập phương Câu 15: Tính tích phân Trong đó Ω là hình hộp Câu 16: Chuyển tích phân sau sang tọa độ trụ: Trong đó Ω là miền giới hạn bởi các mặt: Đặt Câu 17: Tính tích phân đường ; trong đó C có phương trình Áp dụng công thức ta được: Đặt: Tích phân từng phần ta có: Đặt: Tích phân từng phần ta có: Vậy: Câu 18: Tính Trong đó K là đoạn thẳng có phương trình . Câu 19: Tính tích phân đường Trong đó C là đường tròn Đặt: Câu 20: Tính tích phân đường Trong đó C là cung tròn nằm ở ngóc phần tư thư nhất. Đặt: Đặt Câu 21: Tính Lấy theo đoạn thẳng nối từ O(0,0) đến A(3,0). Ta có phương trình đường thẳng OA : Câu 22: Tính tích phân đường Lấy theo đường từ A(0, 1) đến B(2, 3) Ta có: Vậy không phụ thuộc vào đường cong. Ta có phương trình đường thẳng AB: . Tính I theo AB Câu 23: Cho C là elíp . Tính tích phân đường loại hai: Áp dụng định lý Green: Câu 24: Tính tích phân đường loại hai: ở dây cung từ O(0,0) đến A(1,2) Ta có: Vậy không phụ thuộc vào đường cong. Ta có phương trình đường thẳng OA: . Tính I theo OA Câu 30: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân Câu 31: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân Câu 32: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân Câu 33: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân Ta có: Đặt: Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân Câu 34: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân Phương trình nghiệm đặc trưng: Vậy nghiệm tổng quát của phương trình: Câu 35: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân Xét phương trình thuần nhất: (*) Phương trình nghiệm đặc trưng: (*) có 2 nghiệm riêng là Vậy nghiệm tổng quát của phương trình: Trong đó là nghiệm của phương trình: Câu 36: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân Đặt: Ta có: Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân Với: Vậy nghiệm riêng của phương trình vi phân là: trang|2