tailieunhanh - Dãy số thực

Dãy số thực là một danh sách (hữu hạn hoặc vô hạn) liệt kê các số thực theo một thứ tự nào đó. | Dãy số thực 1 Dãy số thực Dãy số thực là một danh sách hữu hạn hoặc vô hạn liệt kê các số thực theo một thứ tự nào đó. Định nghĩa Theo quan điểm của lý thuyết tập hợp dãy số là một ánh xạ a R trong đó là tập hợp số tự nhiên hoặc tập con của tập số tự nhiên nhỏ hơn lớn hơn một số tự nhiên m nào đó. Khi đó thay cho a n ta dùng kí hiệu a . a a n Nếu X là hữu hạn ta có dãy hữu hạn am . an. Ngược lại nó được xem là vô hạn. a a .a . 1 2 n Đôi khi dãy hữu hạn cũng có thể được xem là vô hạn với các phần tử từ thứ m trở đi là bằng nhau. Khi bắt đầu từ phần tử 2nodãy thường được ký hiệu n n0 với xn là phần tử thứ n. Người ta thường xét hơn các dãy bắt đầu từ phần tử 21. tc7l ra 1 với Xn là phần tử thứ n Sau đây sẽ chủ yếu đề cập đến các dãy số thực vô hạn. Nhiều định nghĩa và kết quả dưới đây có thể mở rộng cho dãy các phần tử trong không gian metric hoặc không gian topo. Ý nghĩa thực tế Trong nhiều bài toán dãy số có thể được tạo dựng qua quá trình thu thập dữ liệu. Các dữ liệu thu thập có thể gồm nhiều số từ X x .X . Tập hợp các số này có thứ tự nghĩa là có số đầu tiên x số thứ 2 x và các số tiếp theo. 1 2 n p p y g ư 2 p Biên của dãy Cho dãy x n . Tập hợp các giá trị của dãy rri T2 rE3 zn n 1 2 3 - được gọi là biên của dãy đó. Biên này không có thứ tự. Ví dụ cho dãy l Ti7ỉ 1 có biên là -1 1 . Nó có 2 phần tử thay đổi là 1 và -1. Dãy số thực đơn điệu Định nghĩa Cho dãy số thực írn n i với X là các số thực. Nó là Tăng khi và chỉ khi xn xn-f-i với mọi n 1 và Giảm khi và chỉ khi xn íPn_ _ivới mọi n 1 Nếu dãy có được một trong hai tính chất này ta gọi dãy đó là dãy đơn điệu. Ví dụ với dãy 2 n. i ta có 2n 1 2 2. Do 2 1 nên hay 2 2 1. Suy ra 2 n ilà dãy tăng. Dãy số thực 2 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm Một cách để xác định một dãy có đơn điệu hay không là dựa vào đạo hàm của hàm số tương ứng. Ví dụ như cho dãy . Xét hàm số n n I. . ỉn x d f x v 7 với X 1 X Lấy đạo hàm của nó ta thu được I . In x x xỴln x 1 ỉn x J 9 X X v 7 n 3là dãy giảm. n n Dãy số thực bị chặn Dãy .