tailieunhanh - Vật lý thống kê - Thống kê cổ điển

. Chứng minh : Do các hạt của hệ chuyển động không ngừng nên các điểm pha mô tả trạng thái của hệ cũng chuyển động không ngừng trong không gian pha. Do tổng số các điểm pha không đổi nên chuyển động của các điểm pha giống như sự chảy dừng của một chất lỏng không nén được. Vì vậy ta có thể áp dụng phương trình liên tục cho quá trình này. | Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http For evaluation only. PHẦN I. THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN 1. Định lí Liouville và phương trình Liouville cân bằng thống kê Định lí Hàm phân bố thống kê của hệ không đổi dọc theo quỹ đạo pha của hệ. Chứng minh Do các hạt của hệ chuyển động không ngừng nên các điểm pha mô tả trạng thái của hệ cũng chuyển động không ngừng trong không gian pha. Do tổng số các điểm pha không đổi nên chuyển động của các điểm pha giống như sự chảy dừng của một chất lỏng không nén được. Vì vậy ta có thể áp dụng phương trình liên tục cho quá trình này. Phương trình liên tục có dạng divj 0 1 Bt trong đó ũ là hàm phân bố thống kê và j ũV với v qn. qs p1 . ps là vận tốc của điểm pha trong không gian pha 2s chiều. Do đó ta có divj 2 Í4- ũ Ỉ- ũ 1 2 ũ lũ p ì ẳ Ịq- pL 2 11 1 1 1 _Bqt BP1 _ 1 1 dqi BP1 1 1 Bqt BP1 Mặt khác khi di chuyển dọc theo quỹ đạo pha của hệ thì các qĩ và Pị thỏa mãn phương trình BH . BH chính tắc Hamilton íỹ1. P1 - với H H q p là hàm Hamilton của hệ. BP1 Bqt Bũ . 1 s Bũ ũ I - -1 2 2 1 P11 2 Í 1 ựq s ũ 2 . 1 1 S h BP1 Thay 3 và 4 vào 2 rồi thay vào 1 ta được ũ ũ H 0 Bt Bũ BH Bũ BH TT --------- I gọi là ngoặc Poisson giữa ũ và H Bq1 BP1 BP1 Bq1 .1 A Z x 1 dũ Bũ ỉỉị Mặt khác ta lại có nếu ũ ũ q P t thì - ũ H dt Bt Suy ra ì . BP1 B Ĩ1 Bp 1 1 v 1 ũ 2 Bũ BH Bũ BH Bqt BP1 BP1 Bqt - H ì 0 B ìi BP1 BP1 Bqi s trong đó ũ H 2 k Từ 5 và 6 ta có 0 hay ũ const dt Vậy dọc theo quỹ đạo pha thì hàm phân bố của hệ là không đổi theo thời gian. Phương trình 5 được viết lại là Bũ - ũ H hay Bũ H ũ Bt Bt 3 4 5 6 7 8 i 1 y s B2 H 11 8 là phương trình định lí Liouville Trong trạng thái cân bằng thống kê thì giá trị các đại lượng nhiệt động sẽ không phụ thuộc thời gian. Do đó hàm phân bố thống kê sẽ không phụ thuộc tường minh vào thời gian. Khi đó ta có Bũ 0 . Kết hợp với 8 suy ra Bt H ũ 0. Theo cơ học lí thuyết một đại lượng không phụ thuộc tường minh vào thời gian và ngoặc Poisson giữa hàm Hamilton với .