tailieunhanh - MỘT PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIẤ TRỊ LỚN NHẤT

Tham khảo tài liệu 'một phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất và giấ trị lớn nhất', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | MỘT PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT và GIẤ TRỊ LỚN NHẤT Trong bài viết này tôi đề cập đến một dạng toán tìm giá trị lớn nhất GTLN và giá trị nhỏ nhất GTNN của một biểu thức nhiều ẩn trong đó các ẩn là nghiệm của những phương trình hoặc bất phương trình cho trước. Đối với dạng toán này ta cần xác định và giải một bất phương trình một ẩn mà ẩn đó là biểu thức cần tìm GTLN GTNN. Bài toán 1 Tìm GTLN và GTNN của xy biết x và y là nghiệm của phương trình _ x4 y4 - 3 xy 1 - 2xy Lời giải Ta có x4 y4 - 3 xy 1 - 2xy xy 3 x4 y4 2x2y2 xy 3 x2 y2 2 1 . Do x2 - y2 2 0 với mọi x y dễ dàng suy ra x2 y2 2 4 xy 2 với mọi x y 2 . Từ 1 và 2 ta có xy 3 4 xy 2 4t2 -1 - 3 0 với t xy . _ --7 t 1. t - 1 4t 3 0 4 f 5 .2 Vậy t xy đạt GTLN bằng 1 xy 1 .2 . 2 x y__ __ 3 -y 7 xy -T 2 Bài toán 2 Cho x y z là các số dương thỏa mãn xyz x y z 2. Tìm GTNN của x y z. Lời giải áp dụng bất đẳng ức Cô-si cho ba sô dương X y z ta có x y z 3. xyz X y Z 3 3 . xyz 27xyz 3 . X y-z 27 x y z 2 t3 - 27t -54 0 với t X y z 0 o t-6 t 3 2 0ot 6. Vậy t x y z đạt GTNN bằng 6 khi và chỉ khi x y z 2. Bài toán 3 Cho các số thực x y z thỏa mãn x2 2y2 2x2z2 y2z2 3x2y2z2 9. Tìm GTLN và 5 GTNN của A xyz. Lời giải x2 2y2 2x2z2 y2z2 3x2y2z2 9 iv2 2-2 2 2 2 2 2 2 x y z 2 y x z 3x y z 9 1 . áp dụng bất đẳng thức m2 n2 2 mn với mọi m n ta có x2 y2z2 2 xyz y2 x2z2 2 xyz 2 . Từ 1 và 2 suy ra 2 xyz 4 xyz 3 xyz 2 9 3a2 6 A - 9 0 A2 2 A - 3 0 A - 1 A 3 0 A 1 -1 A 1. Vậy A đạt GTLN bằng 1 X - yz xyz 1 A đạt GTNN bằng-1 x yz xyz -1 LV - V - - Bài toán 4 Cho các số thực x y z thỏa mãn x4 y4 x2 - 3 2y2 1 - x2 . Tìm GTLN và GTNN của x2 y2. Lời giải Ta có x4 y4 x2 - 3 2y2 1 - x2 x2 y2 2 - 2 x2 y2 - 3 -3x2 0 t2 - 2t - 3 0 với t x2 y2 0 t 1 t - 3 0 t 3 vậy t X2 y2 đạt GTLN bằng 3 khi và chỉ khi x 0 Ta lại có x4 y4 x2 - 3 2y2 1 - x2 x2 y2 2 x2 y2 - 3 3y2 0 t2 t - 3 0 với t X2 y2 0 Vậy t X2 y2 đạt GTNN bằng 713-1 2 khi và chỉ khí y 0 . VĨ3 1 X . - - _ V 2 Bài tập tương tự 1 Cho x y z thỏa mãn 2xyz xy yz zx 1. Tìm GTLN của xyz. Đáp