tailieunhanh - Lý thuyết nhóm và ứng dụng vào Vật lý học lượng tử part 7

Tham khảo tài liệu 'lý thuyết nhóm và ứng dụng vào vật lý học lượng tử part 7', tài liệu phổ thông, vật lý phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Nhóm đổi xứng àn của bài toán. Chuyền sang cơ học lượng tử ta hãy thay vectơ A bằng toán tử A f L X p - p XL ị a 4- . 8-3 2 r Cũng dễ thấyr ằgn ngoài cảc hệ thức Li H 0 8-4 ta còn có Ai H o 8-5 tửc là cũng như lượng L lượng A cũng là những tích phân chuyền động. Tiếp theo ta tính các móc Poisson của A với L. Ta được Lị Lj i 8jjk Lk Lj Aj i 8iJk Ak Aj Aj 2iH 8jjk Lk. 8-6 Từ đó đặt Nj Ai 8-7 V 2H v ta được các hệ thức giao hoán sau Lj Lj i eijk Lk Ni Nj i 8ijk Lk Lị Nj i 8ijk Nk . 8-8 Rõ ràng các hệ thức giao hoán này trùng vó i các bệ thức giao hoán của đại số Lie của nhóm SO 4 . Như thế nhóm đối xứng của bài toán chuyền động trong trường Coulomb chính là nhóm SO 4 . Phép phan loại các mức năng lượng Đè tìm sự phân loại các mức năng lượng trong trường họ p này như thưòmg lệ ta hẵy chuyên sang cơ sở Ji Lj Ni Ki Li - Ni thỏa mãn các hệ thức giao hoán J. J. i 8ijk Jk Ki Kj i 8ijk Kk Jj Kị -- 0 ở đó J2 - j j 1 K2 k k 1 . 8-9 Nhưng vì L2 N2 2 J2 K2 L N 5 - L A J2 - K2 0 v 7 V-2H 8-10 nên từ 8-9 ta được j k 8-11 và L2 N2 2ịj j 1 k k 1 1 4j j 1 . 8-12 354 Đẳng thức 8-11 chứng tỏ rẳng các mức năng iượng của bài toán chuyên động trong trường Coulomb được phân loại theo biêu diễn của nhóm SO 4 . Ta hãy tìm hệ thức giữa j và n nhó rằng năng lượng E bằng En -- r tì c 1 . 8-13 zn Vì 1 a r H nên sau một số phép tính đơn giản ta có H - - L2 N2 1 tức là theo 8-12 E CT _ . . j 2 4j j l l 2 2j l 2 So sánh hai biẻu thức 8-13 và 8-14 với nhau ta được j 8-14 Như thế mức năng lượng En là tương ứng với biều diễn c2 n 1 2 -1 lì2 của nhỏm đối xứng SO 4 . Tẩt nhiên biều diễn bẩt khả quy này của nhóm SO 4 trỗ1 nên khả quy đối với nhóm con SO 3 và ta có theo công thức 3-8 SO 4 Ị SO 3 5 n-1 2 n-i 2 . g - 8-15 Từ dó chiều biêu diễn của biều diễn khả quy 8-15 của nhóm SO 3 là 1 3 . 2 n-l 1 n2 như đã nói ở trên. Tính đổi xứng SO 4 cao hon tinh đổi xứng thông thường SO 3 của nguyên tử hydrô gọi là tinh đối xứng ân. Hiện tượng suy biến ngẫu nhiên của bài toàn chuyến động trong .