tailieunhanh - Tìm cực trị một biểu thức bằng nhiều cách

Tài liệu tham khảo các chuyên đề ôn thi môn toán : Tìm cực trị một biểu thức bằng nhiều cách , giúp các bạn học sinh ôn thi tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi tốt nghiệp, thi tuyển sinh sắp tới. | TÌM CỰC TRỊ MỘT BIỂU THỨC BẰNG Nhiều cách Nguyễn Ngọc Khoa Việc giải toán bằng nhiều cách vừa giúp rèn luyện kĩ năng vừa phát triển tư duy trong học toán. Nó đòi hỏi người làm toán phải nhìn bài toán theo các góc độ khác nhau biết vận dụng các kiến thức phù hợp với từng tình huống. Ta thử xét việc tìm giá trị nhỏ nhất GTNN và giá trị lớn nhất GTLN của một số biểu thức với biến số thực dưới đây. Bài toán 1. Tìm giá trị nhỏ nhất giá trị lớn 1 I- - 4 2x 3 nhát cúa biêu thức----- -----. x2 l Lòi giải. Biểu thức này có dạng một phân thức mà tử và mẫu đều là tam thức bậc hai một biến số. Cách 1. Chuyển về xét cực trị của phân thức mà tử là nhị thức bậc nhất rồi so sánh giá trị của tử và mẫu X2 4VL 3 . 4 2x 2 y ------Ít ------- 1 -7- X2 1 X2 1 . _ 4 2x 2 1 z với z - --- X2 1 Vì X2 1 0 với mọi X nên GTLN z đạt được khi tử thức dương và GTNN z đạt được khi tử thức âm. Xét ba trường hợp sau. a Với 4yỈ2x 2 0 X 4 thì z 0 y l. b Với 4a 2x 2 0 o X thì ta chuyển việc tìm GTLN ỳ về tìm GTLN z . Ta so sánh giá trị của tử thức và mẫu thức nhờ áp dụng bất đẳng thức 2x2 1 1 2 2x4-1 0. Từ đó 2 4yỈ2x 2 4 2 Vĩr 1 - 2 x2 1 2x2 1 1 4 2V2x l 4 1 Đắng thức xảy ra khi X 2 lúc đó GTLN y 1 4 5. c Với 4yỈ2x 2 0 X Xét tương tự trên từ X2 1 x2 2 - 1 -2 Ỉ2x -1 rr 2 2y 2x 1 - 2y2x 1 0 có z Z----- -2. - 2V2x 1 Đẳng thức xảy ra khi X -V2 lúc đó GTNN y 1 -2 -1. Cách 2. So sánh giá trị của tử thức và mẫu thức bằng cách sử dụng BĐT Bunyakovski Từ x2 l 2 1 - X2 2 2x 2 dẫn đến 1 -x2 2 1 2V2 2 1 - X2 2 2x 2 z ll -x2 4 2x1 3 x2 1 . -1 - X2 4 2x Ta có y 2 -- ------. X2 1 _ 1 - X2 4V2X Đặt t - -- -----thì Irl 3 X2 1 hay -3 t 3 suy ra -1 y 5. z. -Ị . 1 - X2 2x Đang thức xảy ra khi -J 2x2 V2x -2 0. Giải phương trình này ta laisac được X -y- ứng với GTLN ỵ 5 x2 - -5 2 ứng với GTNN y -1. Cách 3. Chuyển về xét điểu kiện để phương trình PT bậc hai có nghiêm. Với mỗi giá trị x0 ta có giá trị y0 của biểu thức thỏa mãn _ X2 4yỈ2x0 4- 3 Xo 2 . . 0 1 y0 - l x2 - 4 2x0 y0 - 3 0. Có thể coi