tailieunhanh - Giáo trình các tập hợp số part 6

Tham khảo tài liệu 'giáo trình các tập hợp số part 6', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | csc tÊp hip sè g N N n a 2n là một đơn cấu. . Tính chất Định lí . Cho f X - Y là một đồng cấu từ nhóm nhân X vào nhóm nhân Y. ex ey theo thứ tự là đơn vị của nhóm X và nhóm Y. Khi đó ta có 1 f ex ey. 2 Với mọi a e X f ã1 f a -1. 3 f In a I n f a với a1 a2 . . . an eX n 2. v t iA Chứng minh 1 Với mọi x e X ta có x exx. Suy ra f x f exx f ex f x hay eyf x f ex f x . Vì trong nhóm có luật giản ước nên ey f ex . 2 Ta có f a f a-1 f aa-1 ey tương tự f a-1 f a f a-1a f ex ey. Vậy f a-1 f a -1. 3 Chứng minh quy nạp theo n. Với n 2. Theo định nghĩa của đồng cấu ta có f a1a2 f a1 f a2 . Vậy tính chất này đúng với n 2. Giả sử tính chất này đúng với n n 2 tức là ta có n 2_ f In ai I n f ai . X 1 1 1 1 Với n 1 phần tử a15 a2 . . . an 1 của X ta có n Ị Ịai an 1nên n 1 n n n ai I fI n ai-an 11 f n ai -f an 1 i 1 X i 1 X i 1 JJf ai .f an 1 theo giả thiết quy nạp i 1 n 1 n f ai . i 1 Vậy tính chất này đúng với n 1. Định lí . Cho f X - Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. A là một nhóm con của X. B là một nhóm con của Y. Khi đó f A là một nhóm con của Y và f 1 B là một nhóm con của X. 26 csc tÊp hip sè Chứng minh Giả sử A là một nhóm con của nhóm X. Khi đó đơn vị ex thuộc A nên ey f ex e f A . Giả sử y1 y2 là hai phần tử thuộc f A . Khi đó tồn tại a1 a2 thuộc A sao cho y1 f a1 y2 f a2 . Suy ra y1y2-1 f a1 f a2 -1 f a1 f a2-1 f a1a2-1 e f A . Vậy f A là một nhóm con của Y. Giả sử B là một nhóm con của Y. Vì f ex ey e B nên ex e f-1 B . Nếu x15 x2 là hai phần tử thuộc f-1 B thì f x1 e B và f x2 e B. Suy ra f x1 x-1 f x1 f x2 -1 e B. Do đó x1 x-1 e f-1 B . Vậy f -1 B là một nhóm con của X. Định nghĩa . Cho f X Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. Theo định lí f X là một nhóm con của Y. f X được gọi là ảnh của đồng cấu f và kí hiệu là Imf. c1 ey là một nhóm con của X và f-1 ey được gọi là hạt nhân của đồng cấu f và kí hiệu là Kerf. Định lí . Cho f là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. f là một toàn cấu khi và chỉ khi Imf Y. f là một đơn cấu khi và chỉ khi .