tailieunhanh - Chuỗi và phương trình vi phân part 8

Tham khảo tài liệu 'chuỗi và phương trình vi phân part 8', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | z- sinx . - .1C0SX _ A c x c x - 0 X X f sin X ì COSX J x C2 x 1 X X J hay ró smx .ACOSX _A CJx C2 x 7 0. X X Cl x xcosx-sinx C2 x -xsinx - cosx X2. Giải hệ trên ta được Cf x xcosx C2 x -xsin X. Tích phân ta được c x xsin x cosx C2 x xcosx sinx. Từ đó ta có một nghiêm riêng của phương trình thuần nhất là . Xsinx . . cosx y xsinx cosx - xcosx-sinx - - 1. X X Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là sinx - cosx y y y cỴ -717L C2- 1. X X Định lý . Nguyên lý xếp chồng nghiệm Néh yt x y2 x tương ứng là nghiệm riêng của các phương trình y p x y q x y x y p x y q x y 2 x thì y y x v2 x là một nghiệm riêng của phương trình T p x y q x y x 2 x . Bạn đọc đễ dàng chứng minh định lý này. Ví dụ 6. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình .H. 2 . 1 . cotx y -y y ỉ X X biết rằng phương trình thuần nhất tương ứng có một nghiệm riêng dạng 7 xa sin X a là hằng số cần xác định. 157 Giải Xét phương trình thuần nhất tương ứng y y 0 X Để xa sin X là nghiệm của phương trình ta tính yj axa l sin X x cos X. a a - l xư- sin X 2 xrí cos X - x sin X thay vào và đồng nhất theo hệ số của sinx cosx ta được a -1 do đó sinx X cos X Tìm nghiệm riêng Jjciia xem ví dụ 4 ta được y2 - . Nghiệm X tổng quát của là - - sinx _ cosx y C c2 . X X ta tìm y là một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất dưới dạng V y 2. Trong đó y là một nghiệm của phương trình 2 v 7 y 1 và 1 xem ví dụ 5 . Còn y2 là một nghiêm riêng của X phương trình 2 cotx y -y y . X X Ta tìm nghiệm riêng y2 bàng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange . _ . sinx _ cosx y2 C x - C2 x X X trong đó Cị x C2 x được xác định từ hệ xsinx . Ấ cosx c x C2 x - 0 X X 1 X 1 z X 1 Vsinx i z Ỵ cosxA cotx C x -21 C2 x - - X J X X 158 sin X COST C - c2 x - 0 X X j .xcosx-sinx -xsinx-cosx cotx c x - 4- c2 x --2-- - lx XX Giải ta được y2 sin- In tan X 2 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là - _ sinx cosx . sinx . X y y y Cị C2 1 In tan T- X X X 2 . Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng số Phương trình vi