tailieunhanh - Chuỗi và phương trình vi phân part 2

Tham khảo tài liệu 'chuỗi và phương trình vi phân part 2', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Ví dụ 2. Xét sự hội tụ cùa các chuối sô a Ẽ - - Giúi a Ta có lim tù a lim 3 c 1. Vậy chuỗi sô đã cho phàn kỳ. Chú V lim ị n 1 . b Ta có lim 77 . f 2 77 1 2 . ì lim ------ - 77- 77 2 77 1 an í . 2 n 1 2 lim - 00. - X 77 2 Vậy chuỗi sô đã cho phân kỳ. Một số tính chất của chuỗi sô hội tụ tuyệt đôi X Tính chất 1. Nếu chuồi sổ afl hội tụ tuyệt đối và có tổng là s thì chuỗi sô diĩực suy ra tử chuồi số đã cho bằng cách thay đối vị trí các sỏ hạng của nỏ một cách tùy ỷ cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng ỉ à s. Tính chất 2. Nếu hai chuỗi số hội tụ tuyệt đối cố tổng lẩn 1--Ì fí l lượt là s và S thì chuồi số gọi lá tích cua hai chuỗi số trên ị cũng hội tụ tuyệt đối vá có tổng là . . Chuỗi số đan dấu Tiéu chuẩn Leibnitz Định nghĩa . Chuỗi sổ -1 1 ữn - - a2 . - 1 an . 7 1 trong đó an 0 với Vn 1 được gọi chuồi số dan dấu. 13 24 Chuỗi số đan dấu là trường hợp riêng của chuỗi số có dấu bất kỳ. Vì vậy xét sự hội tụ hay phân kỳ cùa chuỗi sô đan dấu ta có thể xót như đối với chuỗi sô có dấu bất kỳ. Tuy nhiên ta còn có tiéu chuẩn sau để xét về sự hội tụ cúa nó. Tiêu chuẩn Leibnitz. Chuỗi dan dấn 13 hội tụ nếu thoả mãn các diều kiện sau i dãy ak ị dơn diệu giảm tức lù ak ứA VẢ n . ii lim ữ 0. if Hơn nữa tang s cúa chuỗi sỏ 13 tháa mãn bất dắng thức 0 s . Chứng mình Với n là sô chẵn n 2m ta có thể xem n t 1 aì - 2 ữ3 - 4 2 i a2m y Vì dãy an đơn điệu giảm 24-1 a k 0 VẰ 1 nên dãy đơn điệu tàng. Mạt khác ta lại có 2m a ữ2 - ữ3 ữ4 - ữs - ữ2m-2 - ữ2m-l a2m Vì dãy an dơn điệu giảm 24 - ứ24 1 0 VẢ 1 S2m 1 Vậy dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên nên có giới hạn lim S2m s s aỵ. Với n là số lẻ w 2m l ta có I S2nl 2m Ị. Theo giả thiết lim 2m 1 - 0 do đó n JJm5 i i Jim 2 M JJm 2W l s 0 s. in Hi r_- Vậy limSw 5 5 25 Chuỗi thỏa mãn giả thiết của tiêu chuẩn Leibnitz được gọi là chuồi . Ví dụ 3. Xét sự hội tụ của các chuối số a Ệ 1 2 -1 3 7 2 b f -ir1 7-1 ln2 n n Gidi a Chuôi số đa cho là chuỗi sô đan dấu. Ta có a 7------ 0 --------- ----- --------- - a Vn 1 3 7 2 3 7 2 3 7