tailieunhanh - Bài tập toán học cao cấp tập 2 part 9

Tham khảo tài liệu 'bài tập toán học cao cấp tập 2 part 9', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | dx dx . y - x lny - y - - X - Iny. dy dy Đó ỉà một phương trình vi phân tuyến tính cấp một nếu xem X là hàm phải tìm y là biến số độc lập. Giải phương trình thuần nhất dx . dx dy y - X - 0 --O - - dy X y Cho c biến thiên theo y ta có trình đã cho ta được cW lny CXy C y q . y J y c dx -7- C y y C y . Thế vào phương dy Bằng cách tích phân từng phần ta được C y - - K K là hằng số tùy ý. y y Vậy nghiêm tổng quát cùa phương trình đã cho là X Ky Iny -1. 11 Phương trình đã cho là phương trình vi phân tuyến tính cấp một xác định khi X 0. Nó viết dưới dạng xy y sinx o xy sinx. Lấy nguyên hàm hai vế đối với X ta được xy -cosx c c là hằng số tuỳ ý. Do đó c - cos X y ---. X 6. 1 Phương trình đã cho viết được dưới dạng P x y dx Q x y dy 0 trong đó P x y 2x y2 Q x y xy. Vì Py 2y Qx - y - Py Qx trừ khi y 0 nên phương trình đã cho không là phương trình vi phân toàn phần. 2 Ta có P x y 3x2 - 3y 1 Q x y - 3x - 1 - py -3 Qx. 160 Do đó phương trình đã cho là phương tình vi phân toàn phần. Tích phân tổng quát của nó có dạng f x y c c là hằng số tùy ý còn f x y là hàm thỏa mãn hệ fx 3x2 -3y l fy - 3x 1 Tích phân phương trình sau cua hệ theo y. ta được f -3xy y p x trong đó p x là một hàm bất kỳ khả vi của X. Do đó fx -3y p x . So sánh với phương trình đầu cúa hệ ta được p x 3x2 1 cp x - X3 X không cộng thêm hằng số tùy ý vì chỉ cần tìm một hàm f x y . Do dó f x. y X3 - 3xy 4- X y. Tích phân tổng quát của phương trình đã cho là X3 - 3xy X y c. 3 Ta có P x y e In x y -Q xy r x y Vậy phương trình đã cho là một phương trình vi phân toàn phần. Ta tìm hàm số f x y sao cho Từ phương trình sao của hệ ta được f x y e lnfx y p x . p là một hàm số khả vị bất kỳ của X. 161 Do đó g fx -------e x ln x y p x . x y So sánh với phương trình đầu của hệ ta được p x 0 p x 0 f x y e xln x y . Vậy tích phân tổng quát của phương trình đả cho ỉà e xln x y c. 4 Ta có _ _ X P x y 3x2 1 Iny Q x y - - 2y- 3x2 Py - QX. y Vậy phương trình dã cho là phương trình vi phân loàn phần. Tìm hàm số f x y sao cho fx .