tailieunhanh - Bài tập toán học cao cấp tập 2 part 8

Tham khảo tài liệu 'bài tập toán học cao cấp tập 2 part 8', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Chương X PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Phương trinh vi phân Dạng tổng quái cùa phương trình vi phân cấp một là F x y y 0 hay y f x y . Nghiệm tổng quát y ọ x C của phương trình vi phân cấp một phụ thuộc một hằng số tuỳ ý c. Bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phán cấp một thoả mãn điều kiện y Xfl - y0 trong đổ x0. y0 là các giá trị thích họp cho trước gọi là bài toán giá trị ban đầu hay bài toán Cauchy . Dạng tổng quát của phương trình vi phán tuyêh tính cấp hai là y p x y q x y - f x . Nghiệm tổng quát y p x Cj c2 của phưtsig trình vi phân cấp hai pỉiụ thuộc hai hằng sô tuỳ ý Cị c2. Bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phàn cáp hai thoả mãn điều kiện y x0 y0 y iXo yh trong đó Xq y0 Ỵj là các giá trị thích hơp cho uước gọi là bài toán giá trị ban đầu hay bài toán Cauchy . 2. Phương trình vì phân cấp một Một số dạng thường gặp của phương trình vi phân cấp một được cho dưới đằy Phương trình biến số phán ly y - p x .q y . _ . . dy Để giải nó ta viết nó dưới dạng s p x dx rói lấy nguyên hàm q y hai vế. 140 Phương trình vi phân thuần nhất y rM Vx 7 Cách giải Đạt y - ux thế vào phương trình đã cho. ta được một phương trình biến số phân ly để tìm u. Tìm được u ta sẽ tìm được y. Phương trình vi phân tuyến tính y p x y - q x Cách giải Dùng phương pháp biến thiên hằng số. Trước hết giải phương trình thuần nhất tương ứng y p x y 0 đó ỉà một phương trình biên số phân ly. Nghiệm tổng quát của nó là y Cyj x . Sau đó xem c là hàm số của X tìm hàm số C x sao cho y C x yj x là nghiệm của phương trình y p x y q x . Nghiệm tổng quát của phương trình bằng nghiêm tổng quát của phương trình ý p x y 0 cộng với một nghiêm riêng của phương trình . Phương trình Bernoulli y p x y q x y a 0 a 1 Cách giải Chia hai vế cho ya rổi đặt z yl ta được một phương trình vi phân tuyến tính để tìm z. Tìm được z ta sẽ tìm được y. Phương trình vi phân toàn phần P x y dx Q x y dy 0 trong đó ỔP ỔQ ỡy ởx Khi đó P x y dx Q x y dy là vi phân toàn phần cúa một hàm f x y nào đó. Tìm được hàm