tailieunhanh - Bài tập toán học cao cấp tập 2 part 7

Tham khảo tài liệu 'bài tập toán học cao cấp tập 2 part 7', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | imn vi- 1 . 1 n . ívX- x 2 n 10 un x 4 7 ll un x 2n -1 V1 x n 12 un x Ỉ . n x 2 7. Tim chuỗi Taylor của hàm số f x ở lân cận X x0 71 1 1 f x sinx x0 4 2 f x x0 l 4 X 3 f x Inx x0 - 2. 8. Khai triển thành chuỗi luỹ thừa ở Ịân cặn x0 0 các hàm sô sau 1 f x xcos3x 2 f x xex 3 f x X sin 4 f x arctgx 5 f x x i x x -1 9. Tính các số sau với độ chính xác 0 0001 l i 2 COS180 ve 3 ln l 04 . 10. Tính các tích phân sau với độ chính xác 0 001 1 1 Je dx õ fln l x 2 I dx. 0 x c. BÀI GIẢI VÀ HƯỚNG DAN ỉ 2 y . . 2 1. 1 Chuỗi -Ệ- là chuỗi nhân với q -Ệ 1 nó hội tụ và có tống n ỉ X 3 J 3 bàng 4 - 1-2 3 8. 120 2nij 2V 2 Chuỗi hội tụ và có tổng bằng 4. n-i 3R r _UA_. 9 . I phân kỳ VI q 1. 3 Chuỗi .9n 2 9322 nd n l .s XT- n2 n Ì n2 n l 4 Chuỗi 2 -_ phân kỳ vì lim - - 1 0. ín2 2n 3 n n 2n 3 Chủ ỉhích Người ta cũng nói rằng điều kiện lim un 0 là điều kiện đá để chuỗi sô 22 un phân kỳ. n-1 5 Ta có 2 2 n2 n Do dó tổng riêng thứ n sn 2Íi-4 4-4 . I 2 2 3 un n n l Vn n ỉ - _ J-J 2 1 - n n 1 I n 4-1 2 Vậy chuồi hội tụ và có tổng bằng 2. n i n n JL 3n 3n 3 6 Chuỗi y phân kỳ vì lim 4 0. Í2n l - 2n l 2 7 Ta có l l u 4n - I - 2n - l 2n I I 2n l - 2n - l _ l _ l 2 x 2n - l 2n l 2n - l 2n l Do đó V ƯI 111 1 1 ì n 2l 3 3 .5 2n-l 2n 1 _ ư 1 ì 1 vu _ 1 - - khi n - 00. 2 2n 1 2 121 Vậychuỗi hội tụ và có tổng bằng . 8 Ta có Hai chuồi ở vê phải đều hội tụ nên chuồi đã cho hội tụ và có tổng bằng 1 1 1 - 1 - - 2 5 3n 4n J- J Y 2Ỵ1 9 Chuỗi --- T X T 1 E ệ hội tụ và có tống bằng rt i 6n n-A2 nA3 2 1 -Ar 1 2-3 1-1 3 10 Ta có 2n l n l 2 n2 1 1 u ------ -----2 ------------ . n n2 n l 2 n2 n l 2 n2 n 1 2 Do đó o . 1 1 1 s 1-- T . H ----- 22 22 32 n2 n 1 2 1----ỉ - - 1. khi n x. n 1 2 Vậy chuỗi đã cho hội tụ và có tổng bằng 1 2. Các chuỗi sô ựong bài tập này đều có số hạng dương nên có thể áp dụng các định lý so sánh để xét sự hội tụ của chúng 1 Ta có .