tailieunhanh - PHẦN III : CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO

Dùng định nghĩa 1) Cho abc = 1 và 3a3 6 . . Chứng minh rằng 3 a2 b2+c2 ab+bc+ac Giải: Ta xét hiệu: 3 a2 b2+c2- ab- bc – ac = 4 a2 12 a2 b2+c2- ab- bc – ac = ( 4 a2 b2+c2- ab– ac+ 2bc) + 12 a2 3bc =( 2 a -b- c)2 + a a abc 12 3 36 =( 2 a -b- c)2 + a a abc 12 3 36 0 (vì abc=1 và a3 36 nên a 0 ) Vậy : 3 a2 b2+c2 ab+bc+ac Điều phải chứng minh 2) Chứng minh rằn | PHẦN III CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO Dùng định nghĩa 1 Cho abc 1 và a3 36. . Chứng minh rằnga b2 c2 ab bc ac I a 2 2 1 1 __a2 a2 2 2 1 1 Giai Ta xét hiệu -- b c - ab- bc - ac -- b c - ab- bc - 3 4 12 ac 4 b2 c2- ab- ac 2bc a2 - 3bc a -b- c 2 a 3 136abc 4 12 2 12a a -b- c 2 a 36abc 0 vì abc 1 và a3 36 nên a 0 2 12a Vậy a b2 c2 ab bc ac Điều phải chứng minh 2 Chứng minh rằng a x y z 1 2x. xy x z 1 b với mọi số thực a b c ta có a2 5b2 4ab 2a 6b 3 0 c a2 2b2 2ab 2a 4b 2 0 Giai a Xét hiệu x y z 1 2 x y 2 x 2 xz 2 x x2 y2 2 x z 2 x 1 2 H H 0 ta có điều phải chứng minh b vế trái có thể viết H a 2b 1 2 b 1 2 1 H 0 ta có đpcm c vế trái có thể viết H a b 1 2 b 1 2 H 0 ta có điều phải chứng minh Dùng biến đổi tương đương 1 Cho x y và xy 1 .Chứng minh rằng x2 y2 2 x y 2 8 Giải Ta có x2 y2 x y 2 2 xy x y 2 2 vì xy 1 x2 y2 2 x y 4 4. x y 2 4 Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với x y 4 4 x y 2 4 8. x y 2 x y 4 4 x y 2 4 0 x y 2 - 0 BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh 2 Cho xy 1 .Chứng minh rằng 1 1 2 1 x2 1 y2 1 xy Giải Ta có -1-2- 1- - 1jT - I 1 77T5--77M 0 1 x 1 y 1 xy Ỳ 1 x 1 y y Ỳ1 y 1 xy y xy- x2 xy- yX x y- x y x - y 0 1 xX . 1 xy 1 y X . 1 xy 1 xx . 1 xy 1 y X . 1 xy - mĩ i yy. 0 BĐT cuối này đúng do xy 1 .Vậy ta có đpcm Dùng bất đẳng thức phụ 1 Cho a b c là các số thực và a b c 1 Chứng minh rằng .2 2 1 a b c 3 Giải áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số 1 1 1 và a b c Ta có 2 1 1 1 . a2 b2 c2 a b c 2 3. a2 b2 c2 a X b X c X 1 3 vì a b c 1 đpcm