tailieunhanh - Phương pháp tính - Chương 4

Tài liệu tham khảo giáo trình Phương pháp tính ( Gs. Tạ Văn Đĩnh - Nxb Giáo dục ) dùng cho các trường đại học kỹ thuật - Chương 4 nội suy và phương pháp bình phương bé nhất | Chương 4 NỘi SUY VÀ PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHAT . NỘI SUY ĐA THỨC ĐA THỨC LAGRANGIO VÀ ĐA THỨC NIUTƠN 1. Vấn đế nội suy Trong thực tế nhiểu khi phải phục hổi một hàm SO f I nọi giá trị của X trên đoạn a X í b mà chỉ biết mòt sô lữu hạn giá trị của hàm số tại một só hữu hạn các điểm rời ạc của đoạn đố. Các giá trị đó được cung cấp qua thực nghiệm iay tính toán. Vậy nẩy sinh một vấn để toán học sau Trên đoạn a X b cho một lưới các điểm chia điểm 3 lút Xj i 0 1 2 . n Ị a xo X x2 . xn b à tại các nút Xj cho giá trị của hàm số y f x là y fix 0 1 2 . n viết thành bảng 4-1 Bảng X X1 2 n-l y yo V1 V yn-i yB Hăy xăỵ dụng một đa thúc bậc n pn x aoxn aiXn-1 . an_jX an 6 Sao cho pn x trùng vói f x tại các nút Xị nghía là pn Xj yif i 0 1 n Đa thức pn x gọi là da thứe nội suy của hàm f x . Ta chọn đa thức để nội suy hàm f x vì đa thức là loại hàm đơn giản luôn có đạo hàm và nguyên hàm việc tính giá trị cững đơn giản Ta có pn x . aoX aj x a2 . x an Do đó có sơ dồ Hoocne tính giá trị pn c bo ao bl boc al b2 bic a2 bn bn-lc an Pn c 2. Sự duy nhát của đa thức nội suy Định lí Đa thức nội suy pn x của hàm số f x dịnh nghía ở trên nếu có thì chỉ có mệt mà thổi. Chứng minh. Giả sử cố hai đa thức pn x và qn x cùng nội suy một hàm số f x . Lúc đó Pn xi yp qn xi y Vậy hiệu pn x - qn x là một đa thức có bậc c n lại triệt tiêu tại n 1 giá trị khác nhau Xị i 0 1 . n vì pn Xị - qn Xj yị - y 0 . Do đé pn x - qn x phải đổng nhất không nghĩa là pn x 3 qn x . Đa thức nội suy có thể xây dựng nhiéu cách nhưng vì nó có tính duy nhất nên tất cả các dạng của nó dìu có thí quy vê nhau được. 3. Đa thức nội suy Lagrangiơ Lagrage Sau đây ta xây dựng đa thức nội suy theo kiểu Lagrangiơ. Gọi lị x là _ X - xo . X - Xj _ ị x - Xj ị . X - Xn i x ĩị - xo . Xị - Xị _ i Xị - Xị 1 . Xj - xj 67 Rõ rằng Ij x là một đa thức bậc n và Mxp - ịỉ i ĩ Ta gọi nó là đa thức Lagrangiơ cơ bản. Bây giờ xét biểu thức n Pn x Yiựx 4-4 ị 0 Ta thổy pn x vừa là một đa thức n vl các lị x đóu ki í íc bậc n vừa