tailieunhanh - Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa 2 biến

Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện f ( X;y) = giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất( nếu có) của biểu thức P= G( x: y).Phương pháp giaỉ chung: gọi T là tập giá trị của P, khi đó thuộc T và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm F( x: y)=0, G( x:y) = m . Sau đó tìm các giá trị của M để hệ (1) có nghiệm ( thường là đưa về có điều kiện có nghiệm của một phương trình bậc 2) | PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA HAI BIẾN. Nguyễn Trung Nghĩa I- SỬ DỤNG TAP GIÁ TRỊ Bài toán Cho các số thực x y thỏa mãn điều kiện F x y 0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nếu có của biểu thức P G x y . Phương pháp giải chung Gọi T là tập giá trị của P khi đó m e T khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm í F x y 0 r 1 G x y m Sau đó tìm các giá trị của m để hệ 1 có nghiệm thường là đưa về điều kiện có nghiệm của một phương trình bậc hai rồi suy ra tập giá trị T của P từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nếu có của biểu thức P G x y . Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1 Đề thi đại học dự bị khối A năm 2006 Cho hai số thực x y thay đổi và thỏa mãn x2 xy y2 3. Chứng minh rằng 4 3 3 x2 xy 3 y2 45 3 3 Giải Đặt A x2 xy y2 và B x2 xy 3y2. Gọi T là tập giá trị của B khi đó m e T khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm 2 I _I 2 s Q x xy y 3 22 x xy 3y m Nếu y 0 thì A x2 3 lúc đó 45 3 3 0 m x2 3 4V3 3 đpcm . Nếu y 0 thì đặt x ty khi đó A x2 xy y2 2 y x . 2 3y2 _ . 0 nên 4 m x2 xy 3y2 t2 t 3 A x2 xy y2 t2 1 1 Đặt a ------- a 1 t a 1 t a 3 0 t2 1 1 2 . 2 Hệ 1 có nghiệm Phương trình 2 có nghiệm A a 1 4 a 1 a 3 0 45 3 3 4 3 3 a . 3 3 _ . 4V3 3 m 4V3 3 Do đó ----7-- 2 mặt khác 0 A 3 nên 4V3 3 m 4V3 3. 3 A 3 Vậy tập giá trị của P là T -4a 3 - 3 4 3 - 3 nên suy ra đpcm. Ví dụ 2 Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 2005 Cho hai số thực x y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x - 3yjx 1 3ựy 2 - y. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức K x y. Giải ĐKXĐ x -1 và y -2. Gọi T là tập giá trị của K. Ta có m e T khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm x - 3 x 1 3ựy 2 - y 1 x y m Đặt u x 1 và v y y 2 thì u 0 v 0 và hệ 1 trở thành 3 u v m u v m 3 m u v 3 2 1 m uv 2 -m- u V là hai nghiệm của phương trình 3 m _t -32 11 m2 2 - 6mt m2 - 9m - 27 0 2 . 9 t2 9 m - 3 0 18t Do đó hệ 1 có nghiệm x y sao cho x -1 và y -2 khi và chỉ khi phương trình 2 có hai nghiệm không âm và điều kiện là A -9 m2 - 18m - 54 0 S m 0 3 P m2 -