tailieunhanh - Hướng dẫn giải bài tập Hình Học Vi Phân

Ta có |f (a + ∆x, b + ∆y) − f (a, b) − ∆(∆x, ∆y)| lim (∆x,∆y)→0 (∆x, ∆y) | sin(a + ∆x) − sin a − cos a.∆x| = lim (∆x,∆y)→0 ∆x2 + ∆y 2 |2 cos 2a+∆x sin ∆x − cos a.∆x| 2 2 = lim (∆x,∆y)→0 ∆x2 + ∆y 2 | cos 2a+∆x ∆x − cos a.∆x| 2 = lim . ∆x→0 2 2 ∆x + ∆y Ta l i có | cos 2a+∆x ∆x − cos a.∆x| | cos 2a+∆x ∆x − cos a.∆x| 2 2 0≤ ≤ |∆x| 2 2 ∆x + ∆y Ta. | HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP 1 HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Bài tập . Ta có n If a Ax b Ay - f a b - A Ax Ay I .vT Ax Ay I sin a Ax sin a cos TxaS 0 Ax2 Ay2 2cos 2a 2Tx sin T cos Ax- Ay2 I cos 2a TxAx cos lim ------ ---------------. Ti-0 ựAx2 Ay2 Ta lại có I cos 2a T Ax cos I cos 2a T Ax cos A x Ay2 IAxI Ta có đánh giá I cos 2a Tx Ax cos lim -----2 ------------- TAo IAxI 2a Ax 2 mQ cos---------cos a 0 I cos 2a TxAx cos .lim. ---- ------ 0 T ựAx2 Ay2 Df a b 0. Bài tập . Để chứng minh f khả vi tại x 0 ta cần chỉ ra tồn tại một ánh xạ tuyến tính đi từ Rn vào R thỏa giả thiết. Thật vậy xét ánh xạ tuyến tính O Rn R. Do hàm f thỏa If 0 I 0 2 0 f 0 0. nên ta có If 0 h - f 0 -O h I If x I h 2 h h h 11 1 nên 1 If 0 h - f 0 -O h I n lim --------- II Ml lim h 0. h 0 h h 0 2 Hướng dẫn giải bầi tập chương 1 Vậy f khả vi tại x 0 và Df 0 0. Bài tập . a Dif x y Jim0f x g - f x Dif 0- 0 Jf04 4 ff 0-0 jim xl1 0. Tương tự I n f x-y 4y -f x-y D2f x y lim------------ . . 4y . -Aỵ 44 - f M b Giả sử f khả vi tại 0 - 0 Df 0 - 0 0 - 0 . Ta có 1. If 0 4x - 0 4y - f 0 -0 - Df 0 -0 4x - 4y lim ----------------------- -------------------- Ax Ay 0 0 ự 4x 2 4y 2 0 lim p f 4X - 4 0 Ax Ay 0 0 ự 4x 2 4y 2 4x 4y lim z 0. 1 Ax Ay 0 0 ự 4x 2 4y 2 Chọn 4x 4y 0. Suy ra 4x 4y lim 7 As Aỹ 0 0 ự 4x 2 4y 2 lim .4x 2 1 0 1 . a1 o 2 4x 2 2 v Vậy f không khả vi tại 0 - 0 . Bài tập . f f f @x @y @z a f0 x -y z 1 lnx .xy 0 b Đặt fi xy - f2 0. @fi @fi f0 x -y -z @x @y @f2 @f2 @x @y f 0 @z lnx .xy 0 @f2 @ 0 0 0 @z c f0 xy @f @f If Ix Iy Iz siny. cos x. siny x. cosy cos x. siny HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP 3 d Đặt fi sin xy Ỉ2 sin xsiny f xy. dfi dfi dx dy f x y df2 dfo dx dy @f3 @f3 dx dy Bài tập . Ta có y. cos sin y. cos x. sin y 1 x. cos x. cos y cos x. sin y lnx .xy y f 0 0 lim - x 7T- lim x x2 sin 1 x 0 x--0 x 0 X 0 V 2 Với x 0 ta có f 0 x - 2x sin--------cos . 1 J v 7 2 nên f không liên tục tại x 0. Bây giờ ta chứng minh trong mỗi .