tailieunhanh - Tiểu luận : Kết hợp máy tính bỏ túi và Maple giải gần đúng nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường

Để giải gần đúng phương trình vi phân, người ta thường dùng phương pháp giải tích và phương pháp số - tìm nghiệm xấp xỉ dưới dạng các giá trị số của nghiệm tại một số điểm trên đoạn (a,b) và kết quả được cho dưới dạng bảng, như phương pháp đường gấp khúc Euler, phương pháp Runge-Kutta,. | VIỆN TOÁN HỌC MÔN HỌC GIẢI TÍCH SỐ TIỂU LUẬN KẾT HỢP MÁY TÍNH BỎ TÚI VÀ MAPLE GIẢI GẦN ĐÚNG NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Người thực hiện Phạm Thị Thuỳ Lớp Cao học K19 - Viện Toán HÀ NỘI - 2012 1 Để nghiên cứu phương trình vi phân người ta thường không giải trực tiếp phương trình mà sử dụng hai phương pháp phương pháp định tính và phương pháp giải gần đúng - tìm nghiệm dưới dạng xấp xỉ. Để giải gần đúng phương trình vi phân người ta thường dùng phương pháp giải tích và phương pháp số - tìm nghiệm xấp xỉ dưới dạng các giá trị số của nghiệm tại một số điểm trên đoạn a b và kết quả được cho dưới dạng bảng như phương pháp đường gấp khúc Euler phương pháp Runge-Kutta . Nhằm minh họa cho khả năng sử dụng máy tính điện tử để giải phương trình vi phân có thể thể hiện phương pháp Euler và phương pháp Runge-Kutta trên máy tính điện tử khoa học Casio fX-570 ES và trên chương trình Maple qua một số ví dụ được trình bày dưới đây. . Bài toán Cauchy của phương trình vi phân cấp một Một phương trình vi phân cấp một có thể viết dưới dạng giải được y f x y mà ta có thể tìm được hàm y từ đạo hàm của nó. Tồn tại vô số nghiệm thoả mãn phương trình trên. Mỗi nghiệm phụ thuộc vào một hằng số tuỳ ý. Khi cho trước giá trị ban đầu của y là y0 tại giá trị đầu x0 ta nhận được một nghiệm riêng của phương trình. Bài toán Cauchy hay bài toán có điều kiện đầu tóm lại như sau Cho x sao cho b x a tìm y x thoả mãn điều kiện y x f x y 1 y x0 y0 Một cách tổng quát hơn người ta định nghĩa hệ phương trình bậc một y 1 f1 x M y2 - yn 1 y2 f2 x tt y2 . yn . . y n fn x y1 y2 . yn Hệ trên có thể viết dưới dạng y f x y trong đó 2 f-f 1 f f y1 Ì 2 f y f V n 7 yn Giải bài toán Cauchy cho phương trình vi phân trên máy tính điện tử và Maple Công thức tính xấp xỉ nghiệm theo phương pháp Euler phương pháp Euler cải tiến và phương pháp Runge-Kutta cho thấy việc giải gần đúng phương trình vi phân có thể dễ dàng thực hiện tính toán trên máy tính khoa học Casio fx-570 ES hoặc