tailieunhanh - Một số đề dự tuyển olympic toán học sinh viên toàn quốc

Một số đề dự tuyển olympic toán học sinh viên toàn quốc | HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM MỘT SỐ ĐỀ Dự TUYỂN OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC NĂM 2009 Chương 1 Các bài toán đề nghị Môn Đại số Trường Học viện Phòng không -Không quân Câu I. 2 5 điểm Ma trận A 2 Mn K được gọi là luỹ linh bậc p nếu p là một số nguyên dương sao cho Ap 1 O và Ap O ma trận không . a Chứng minh rằng nếu A là ma trận luỹ linh bậc p thì E A là ma trận khả nghịch. Hãy tìm ma trận nghịch đảo E A -1. b Ấp dụng kết quả trên hãy tìm ma trận nghịch đảo của ma trận 1 B I a 0 0 1 0 1 b c Câu II. 3 điểm a Cho các số thực Ap Ạ2 . Ạn khác nhau và khác các giá trị 0 1 2 . n 1. Hãy chứng minh rằng 1 1 1 Ạ1 Ạ2 Ạn 11 1 I Ạ1 1 Ạ2 1 Ạn 1 0 1 1 1 Ạ1 n 1 Ạ2 n - 1 Ạn n - 1 b Cho đa thức P x x4 5x3 11x2 12x 6. Biết rằng phương trình P x 0 có một nghiệm là 1 i. Hãy chứng minh rằng nếu A là ma trận vuông 2 . MÕN GIẢI TÍCH TRƯỜNG HỌC VIỆN PHÒNG KHÕNG - KHÕNG QUẪN3 cấp n thoả mãn P A O ma trận không thì A không có giá trị riêng là số thực. Câu III. 2 5 điểm Cho bất phương trình 1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4 2009 Giả sử bất phương trình có các nghiệm là một số khoảng. Tính tổng độ dài các nghiệm trên trục số. Câu IV. 2 điểm Cho các đa thức với hệ số phức P x xn a1xn-1 a2xn 2 an-1x an Q x xm bixm-1 b2xm 2 ---- bm 1 x bm Biết rằng P x chia hết cho Q x và tồn tại k k 1 2 . m sao cho bkI . Chứng minh rằng tồn tại ít nhất aị i 1 2 . n sao cho IaiI 2009. Môn Giải tích Trường Học viện Phòng không -Không quân Câu I. 2 điểm Tính giới hạn lim X 0 osin V - 1 dt R0x 2t2dt Câu II. 1 5 điểm Dãy số xn được xác định bởi x1 3 3 xn 1 xn ạ 16 xn A 16 xn 1 8n 1. Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số. Câu III. 1 5 điểm Cho hàm số f x liên tục đơn điệu tăng và thoả mãn điều kiện f x 0 8x 2 a b . Gọi g x là hàm ngược của f x . Chứng minh rằng í f x dx í g x dx bf b af a . Ja Jf a Câu IV. 2 5 điểm Cho a1 a2 . an là các số thực không âm và không đồng thời bằng .