tailieunhanh - Tài liệu chuyên toán - Bất đẳng thức hiện đại - phần 8

Tham khảo tài liệu 'tài liệu chuyên toán - bất đẳng thức hiện đại - phần 8', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | 203 Lời GIẢI. Bất đẳng thức tương đương vói Ea 2b a - 3 2 -------3 c 2b 4 0 c cyc cyc 2 a3 3abc - 3 a2b 2 a3 - ab a b t s cyc cyc cyc cyc 2a b 2b c 2c a a b b c c a 2 3a3 3abc - 3 a2b cyc cyc 2 3a3 ab a b 2a b 2b c 2c a a b b c c a I . o p3 _ 1 li i 11 1 n 2a b 2b c 2c a ọ IIÓII I II pl ll PÂĨ1 Ini iio minti dii iii DO 2 J a ỵ J a 7 a I- J 0 Và a b b c c a 2 nên ta cni Celli niứng innin 2 a3 3abc - 3 a2b 2 cyc cyc 2 3a3 - ab a b 2 3a3 - 2 3ab2 a2b - 3abc 0 cyc cyc cyc Theo bất đẳng thức AM-GM ta có 2 3a3 - 2 ab2 0 cyc cyc a2b - 3abc 0. cyc Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c. Bài toán Cho các số dương a b c thỏa mãn a b c a b c 10. Chứng minh rằng 7 8p2 - 5p5 ab c 7 õựõ - 8 2 2 b c a 2 . Phạm Kim Hùng Võ Quốc Bá Cẩn Lời GIẢI. Do tính thuần nhất không mất tính tổng quát giả sử a b c 1 đặt q ab bc ca r abc thì ta có q 10r. Ta có a b c ab2 bc2 ca2 b c a abc 204 CHƯƠNG 2. SÁNG TẠO BẤT đẳng thức Do đó để chứng minh bất đẳng thức bên trái ta chỉ cần xét nó trong trường hợp c b a là đủ từ đó a b c b c a ab2 bc2 ca2 q 3r ự q2 4q3 2 9q 2 r 27r2 abc 2r a2 4 3 2 9 2 q 27 c qì2 q íq 2 9q 2 10 2-M 10 2 1 7 _ 2 2 4 253 40 f 10q 4 j ậ 253 80pĩÕ 2 2 ụ q Ị 22 7 8p2 - 5p5 2 Tiếp theo ta sẽ chứng minh bất đẳng thức bên phải rõ ràng ta chỉ cần xét nó trong trường hợp a b c là đủ khi đó abc b c a ab2 bc2 ca2 q 3r ự q2 4q3 2 9q 2 r 27r2 abc 2r 7 1 n2 4a3 2 2 q 27 c-qì2 7 1 q q q z 10 z í 110 2 ư ữ 7 - 253 - 40 10q 1 7 - 253 - 8 gl0 2 2ỵ q 2 2 v 7 5ự5 - 8a 2 2 Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức ở bất đẳng thức bên trái xảy ra khi va chỉ khi c 10P10 25 p 2 2 P5 b O a 10 p 10 25 p 2 2 P5 và các hoán vị tương ứng. Đẳng thức ở bất đẳng thức bên phải xảy ra khi và chỉ khi a I0 pi0-5v2 2 5 b pw c 10-P0-5p2 2P5 và các hoán vị tương ứng. 20 10 20 Bài toán Cho các số dương a b c thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng a4 b4 c4 4 pãb pbc pcã 15. Dương Đức Lâm Lời GIẢI. Trưóc hết ta sẽ chứng minh rằng aa E1 cyc cyc a b Pab 2pa2 cyc cyc cyc 205 a .