tailieunhanh - Tài liêu ôn toán - Chuyên đề bất đẳng thức hiện đại - Phần 4

Tham khảo tài liệu 'tài liêu ôn toán - chuyên đề bất đẳng thức hiện đại - phần 4', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | . THE CYH TECHNIQUES 83 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có E cyc 2a2 b c 2 b2 bc c2 E 2a2 b - c 2 cyc - p 2a2 b - c 2 b2 - bc c2 cyc Ta cần chứng minh X 2a2 b - c 2 - 6 X 2a2 b - c 2 b2 - bc c2 _ cyc _ cyc 2 3 a4 2abc a ab a2 b2 - 6 a2b2 cyc cyc cyc cyc 2 X a2 a b a c 3 X ab a b 2 0. cyc cyc Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức Schur bậc 4. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c hoặc a 0 hoặc các hoán vị tương ứng. Ví dụ Cho các số không âm a b. c tất cả không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng 3a2 bc 3b2 ca 3c2 ab 3 2a2 b2 c2 2b2 c2 a2 2c2 a2 b2 2 Vasile Cirtoaje Lời GIẢI. Viết lại bất đẳng thức như sau E cyc 2 3a2 bc 2a2 b2 c2 -6 X 3b2 2bc 3c2 2a2 b2 c2 6 cyc 3 X b -c 2 8X bc 6 2a2 b2 c2 2a2 b2 c2 6 cyc cyc 84 CHƯƠNG 1. TÌM TÒI MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI TOÁN Nếu a b 2 b c 2 c a 2 0 bất đẳng thức là hiển nhiên. Nếu a b 2 b c 2 c a 2 0 khi đó theo bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có X b c 2 2a2 b2 c2 cyc 2 b - c 2 ỵcyc Ị b - c 2 2a2 b2 c2 cyc 2 4 a2 ab cyc cyc Ị b - c 2 a2 a2 b - c 2 cyc cyc cyc 2 2 a2 - ab cyc cyc a2 - ab a2 b2c2 - a2bc cyc cyc cyc cyc cyc và bc 2a2 b2 c2 cyc 2 bc cyc 2 bc cyc bc 2a2 b2 c2 cyc bc a2 a2 bc cyc cyc cyc Ta cần chứng minh 2 6 a2 - ab cyc cyc a2 - ab a2 b2c2 - a2bc cyc cyc cyc cyc cyc 2 8 bc cyc 7 X 1V 97 - 6 bc a2 a2bc cyc cyc cyc Do tính thuần nhất ta có thể chuẩn hóa cho a b c 1. Đặt q bc r abc cyc khi đó bất đẳng thức trở thành 3 1 - 3q 2 Ị 4q2 3 1 3q 1 2q q2 3r q 1 2q r _ 3r q - 4q2 2_ 0 1 5q 7q2 3r q 2q2 r _ . THE CYH TECHNIQUES 85 hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b 1 0 0 hoặc các hoán vị tương ứng. c hoặc a b c hoặc Ví dụ Cho các số dương a b c. Chứng minh rằng a2 bc b2 ca c2 ab . . . . . . . . . . . 0. ựa2 2b2 3c2 b2 2c2 3a2 ực2 2a2 3b2 Nguyễn Anh Tuấn Lời GIẢI. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có 8 a2 bc T FTT b c ịytL ự6 a2 2b2 3c2 8 a2 bc b c p6 a2 2b2 3c2 p6 a2 2b2 3c2 - 8 a2 bc b c a 2b 3c - yc p6 a2 2b2 3c2 8a2 c2 ab bc ca 2 b c 2 ìyc p6 a2 .