tailieunhanh - Tài liệu ôn toán - Chuyên đề 11 - Tổ hợp, chỉnh hợp và phép đếm

Tham khảo tài liệu 'tài liệu ôn toán - chuyên đề 11 - tổ hợp, chỉnh hợp và phép đếm', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Bài giảng số 11 CÁC BÀI TOÁN VÉ SÚ TỔ HỌP CHÍNH HỌP VÀ PHÉP ĐẾM Bài giảng này đề cập đến các loại toán sau đây của chủ đề này - Giải phương trình liên quan đến sổ tổ hợp chỉnh hợp. - Chứng minh các hệ thức tổ hợp không sử dụng công thức khaĩ triển của nhị thức Newton . - Các bài toán về phép đếm. 1. CHỬNG MINH CÁC HỆ THÚC Tổ HỢP Phương pháp giải này dựa trực tiếp vào các công thức tính các số tổ họ-p c số chinh hợp và số hoán vị p . Hai công thức rất hay sử dụng trong mục này là ckn crk va Ck 1 Ck Ck- Xét các thí dụ minh họa sau đây Thí dụ 1 Đề thi tuyển sinh Đại học khối B - 2008 Cho n nguyên dương và k nguyên 0 k n . Chứng minh hệ thức sau n 1 f 1 1 Y 1 n 2 ck 1 ck irck Giải Ta có n l 111 n ICntì Cli 1 2lcnk 1 Cnk ỉJ n 2 ck 1ck i _n l Cn 2 _n l n 2 kl n l-k l n-k 771 ck cb - n 2 k 1 n 1 - k n l l n 1 l n l n 2 k n-k k n -k 1 đ n 2 n l n n l n Cnk p Thí dụ 2 Đề thi tuyển sinh Đai học Hùng Vương - 2006 Chứng minh với mọi số tự nhiên n 2 ta có n-1 A22 A23 A24 A2 n 201 Giải Ta có . .1 0 . 1 2 . n-2 A 2 A23 a2 A2 2 3 4 n . 1 n-l n 1 1 n -1 n 1 4 - -- 2 2 3 3 4 1 11 _ 1 . 4 - - - đpcm. n n Thí dụ 3 Cho k n là các số nguyên và 4 k n. Chứng minh cjj 4C 1 c 2 4C -3 cjj-4 C 4 . Giải Áp dụng tính chất của số tổ hợp ta có pk pk Ị pk-1 n 4 n 3 vn 3 Cn 2 Cn 2 n 2 Cn 2 cnk i C 2 c ỉ c 2 c 2 c 3 c c -1 3 cỉr1 cỉr2 3 cỉr2 cỉr3 cỉr3 c -4 cjj 4Cn-1 6C 2 4C -3 c -4 í đpcm. Thỉ dụ 4 Chứng minh rằng với mội số nguyên n 1 ta cỏ p2 p3 pn c1 4-7 ĨL 4-ì 4L 4- I n V n c2 cn 2 r 1 j r2 - n n 1 C 1 l - n Giải Với k 1 2 . n ta có k cn _kn n l-k k-l _ k-l k n-k n l-k kEF n - k k n n - k k n-k l. Từ đó suy ra r 2 z n Cn 2rr 3 - . n- T n n-l n-2 . l n pl p2 pn-1 V V cn un cn n n l 2 cn2 l đpcm. Thí dụ 5 Cho n 2 là số nguyên chứng minh rằng Pn l P1 2P2 3P3 . n-l P11_1 ở đây Pk là số hoán vị của k phần tử k 1 2 . n. 202 Giải Ta có pk- pk l k - k-1 k-l k- k-1 k-1 k-1 k-1 Pk. 1 Áp dụng liên tiếp 1 ta có _ C 1 1 J 1 II II II Í2 J 1 Cộng từng vế các đẳng thức .