tailieunhanh - tuyển tập olympic toán sinh viên toàn quốc 1993-2005

TUYEN TAP OLYMPIC TOAN SINH VIEN TOAN QUOC 1993 - 2005 (de thi & loi giai) dua theo Cac de thi Olympic toan sinh vien toan quoc cua Nguyen Van Mau, Le Ngoc Lang, Pham The Long, Nguyen Minh Tuan, Hanoi, 2006. | DongPhD. No rights reserved. Share and share alike. TUYEN TAP OLYMPIC TOAN SINH VIEN TOAN QUOC 1993 - 2005 de thi loi giai dua theo Cac de thi Olympic toan sinh vien toan quoc cua Nguyen Van Mau Le Ngoc Lang Pham The Long Nguyen Minh Tuan Hanoi 2006. Chương 1 Các đề thi Olympic chính thức Olympic năm 1993 Vòng 1 Ngày thứ nhất Câu 1. a Tìm tất cả các ma trận thực X z . sao cho X 2 1 0 0 V b Cho 2n số nguyên ai an thỏa mãn điều kiện O-1 1 anbn 0. Đặt 1 ai i ai 2 aỵbn A a2bi 1 a2b2 a2bn anbi anb2 1 anbnj Tính I det Ấ . Câu 2. a Cho ỉ x của f x trên R. b Tính tích phân max 2a X arctg X X X2 1 X E R. Tìm một nguyên hàm 7t 2 dx J 1 tgx 2 6 . Olympic năm 1993 7 Câu 3. a Cho hàm số f x xác định và có đạo hàm bậc hai liên tục và không đồng nhất bằng không trên bất kỳ đoạn nào của R. Biết rằng đổ thị của hàm số y f x cắt đường thẳng ax by c tại ba điểm phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại Xo E R sao cho y xo 0 và f x đổi dấu qua X Xo- b Kí hiệu pn x là tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực có bậc không vượt quá n . Cho hai số phân biệt a b E R. Xét ánh xạ f P X Pz x xác định theo công thức Vp x G Ps x f p p x à p x . i Hỏi f có phải là toàn ánh không 11 Tính -1 0 . Vòng 2 Ngày thứ hai Câu 1. Cho 0 a 1. Chứng minh rằng với mọi a b E c phương trình z3 az b 0 có ít nhất một nghiệm thoả mãn điều kiện z a 2 a. Câu 2. Cho 0 X và 0 y w. Chứng minh rằng y arctg y x In cosx 1 y2 . Hỏi khi nào thì xảy ra dấu đẳng thức. Câu 3. Cho p x const là đa thức với hệ số thực. Chứng minh rằng nếu hệ phương trình 1 p í sin tdt 0 J 0 I f p t cos tdt 0. lo có nghiệm thực thì số nghiệm thực chỉ có thể là hữu hạn. Câu 4. Cho hai ma trân thực vuông đồng cấp A và B. Giả thiết rằng det Ấ B 0 và det Ấ B 0. Đặt M Ẵ - Chứng minh rằng det M .