tailieunhanh - 14 BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2000 - 2010

Trong các đề thi học sinh giỏi quốc gia hàng năm, bài toán hình học được xem là bài toán cơ bản, bắt buộc. Để giải chúng, đòi hỏi người học nắm vững các kiến thức căn bản về hình học và năng lực tổng hợp các kiến thức đó. Nhằm phục vụ cho kỳ thi sắp đến, tôi xin giới thiệu các em một số bài toán trong các kỳ thi vừa qua, giúp các em có cái nhìn tổng quan về mức độ và kiến thức đòi hỏi trong các bài thi | 14 BÀI TOÁN HINH HỌC PHẢNG TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2000-2010 V y V Trong các đề thi chọn học sinh giỏi vòng quốc gia hàng năm bài toán hình học phẳng được xem là bài toán cơ bản bắt buộc. Để giải chúng đòi hỏi người học nắm vững các kiến thức căn bản về hình học và năng lực tổng hợp các kiến thức đó. Nhằm phục vụ kỳ thi sắp đến tôi xin giới thiệu với các em một số bài toán trong các kỳ thi vừa qua giúp các em có cái nhìn tổng quan về mức độ và kiến thức đòi hỏi trong các bài thi. Bài 1. Bảng B - năm 2000 Trên mặt phẳng cho trước cho hai đường tròn O1 r1 và O2 r2 . Trên đường tròn O1 r1 lấy một điểm M1 và trên đường tròn O2 r2 lấy một điểm M2 sao cho đường thẳng O1M1 cắt đường thẳng O2M2 tại điểm Q. Cho M1 chuyển động trên đường tròn O1 r1 M2 chuyển động trên đường tròn O2 r2 cùng theo chiều kim đồng hồ và cùng với vận tốc góc như nhau. 1 Tìm quỹ tích trung điểm đoạn thẳng M1M2. 2 Chứng minh rằng giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác M1QM2 với đường tròn ngoại tiếp tam giác O1QO2 là 1 điểm cố định. Giải 1 Gọi O là trung điểm của O1O2. Hiển nhiên O là điểm cố định. Lấy các điểm M 1 M 2 sao cho OM 1 O1M1 OM 1 O2M2. Vì M1 M2 tương ứng chuyển động trên O1 r1 O2 r2 theo cùng chiều và với cùng vận tốc góc nên M 1 M 2 sẽ quay quanh O theo cùng chiều và với vận tốc góc . 1 1 Ta có M là trung điểm M1M2 OM 2 OM1 OM2 OM 2 O1M 1 O2M 2 M là trung điểm của M 1 M 2 . Từ suy ra quỹ tích của M là đường tròn tâm O và bán kính R 2 2r11 2 2r22 - d2 trong đó d M1M2 const. 2 Gọi P là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác M1QM2 và đường tròn ngoại tiếp tam giác O1QO2. Dễ dàng chứng minh được A PO1M1 đồng dạng A PO2M2. Suy ra PO1 PO2 . Do đó P r2 1 . r thuộc đường tròn Apôlôniut dựng trên đoạn O1O2 cố định theo tỷ số không đôi r2 Dễ thấy PO1 PO2 a const. Suy ra P thuộc cung chứa góc định hướng không đôi a dựng trên đoạn O1O2 cố định 2 . Từ 1 2 suy ra P là điểm cố định đpcm . trang 1 Bài 2. Bảng B - năm 2001 Trong mặt .