tailieunhanh - Đề thi Hướng tới Olympic Toán năm 2013.

Cho dãy số nguyên dương $\{a_n\}$ thỏa mãn điều kiện $m+n$ chia hết cho $a_m+a_n$ với mọi $m, n$ nguyên dương. Hãy tìm tất cả các giá trị có thể có của $a_{2012}$. | Đề thi Hướng tới Olympic Toán năm 2013 Khối 10 Bài 1. Cho dãy số nguyên dương a_n thỏa mãn điều kiện m n chia hết cho a_m a_n với mọi m n nguyên dương. Hãy tìm tất cả các giá trị có thể có của a_ 2012 . Bài 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O . Gọi UV là một dây cung của O . Giả sử UV cắt AB AC lần lượt tại Q và P . Gọi M N J R theo thứ tự là trung điểm BP CQ PQ và UV . Chứng minh rằng R nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác MNJ . Bài 3. Chứng minh rằng với mọi x y z 0 ta có dfrac 3x y dfrac 4y z 16 sqrt dfrac z 3x y ge 15 Bài 4. Hỏi có thể phủ bàn cờ 8 times 8 bằng 9 hình vuông 2 times 2 và 7 hình chữ Z được hay không Giải thích rõ câu trả lời. Khối 11 Bài 1. Cho a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng frac 1 aA2 frac 1 bA2 frac 1 cA2 frac 1 a b c A2 ge frac 7 25 left frac 1 a frac 1 b frac 1 c frac 1 a b c right A2 Bài 2. Cho tứ giác lồi ABCD thỏa mãn widehat ABC widehat BCD 180A0 . Giả sử hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E . Chứng minh rằng ta có widehat ABC widehat ADC khi và chỉ khi ACA2 Bài 3. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 2011 chữ số có dạng overline a_ 2011 a_ 2010 .a_2a_1 thỏa mãn điều kiện a_i equiv i pmod 2 với mọi i 1 2 3. 2011 . Tính số tất cả các cặp số x y với x y in mathbb Z x y sao cho x y chia hết cho 5A 2011 . Bài 4. Trong chương trình Gặp gỡ Toán học lần IV có tổng cộng 673 tựa sách và quyết định tổ chức đăng ký mua sách cho các thành viên tham gia. Sau khi thu phiếu đăng ký ban tổ chức phát hiện các điều thú vị sau 1 Tất cả các bạn đều đăng ký mua đúng ba tựa sách. 2 Hai bạn bất kì đăng ký mua giống nhau ít nhất một tựa sách. 3 Không có tựa sách nào được tất cả các thành viên đăng ký mua. 4 Không có ba bạn nào mua ba tựa sách giống nhau. Chứng minh rằng ở kỳ Gặp gỡ Toán học lần này có nhiều nhất 2011 bạn tham gia giao lưu và học tập. Khối 12 Bài .