tailieunhanh - Giáo trình hình thành hệ thống phân tích nguyên lý của hàm điều hòa dạng vi phân p3

Tham khảo tài liệu 'giáo trình hình thành hệ thống phân tích nguyên lý của hàm điều hòa dạng vi phân p3', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Chương 4. Chuỗi Hàm Phức Và Thặng 3 M 0 V z e rp g z M I g z dz Mnp rP . 0 Tham số hoá cung rp z b peil với t e n 0 . Tính trực tiếp J -1 dz - niResf b rp Thay 2 và 3 vào 1 suy ra công thức 2 3 I Ví du Tính tích phân I 1 x - 1 X2 1 2 dx Phân thức z -1 X X f z . - có cực điểm kép a i z2 1 2 thuộc nửa mặt phẳng trên Suy ra í z -1 Resf i liml ỳ zii z i 2 1 z i 2 2 z -1 1 z i 3 z r 41 I 2niResf i - n 2 Hê quả 2 Cho f z là phân thức hữu sao cho bậc của mẫu số lớn hơn bậc tử số ít nhất là một đơn vị có các cực điểm ak với k nằm trong nửa mặt phẳng trên và có các cực điểm đơn bj với j nằm trên trục thực. Kí hiệu g z f z eiaz ta có p q I f x eiaxdx 2ni Resg ak ni Resg bj k 1 j 1 Chứng minh Lập luận tuơng tự nhu chứng minh hệ quả 1. ix sinx 1 e Ví du Tính tích phân I I dx Im I - dx x 2 x 0 Phân thức f z 1 có cực điểm đơn b 0 thuộc trục thực và Resg 0 lim eiz 1 z . z i0 Suy ra I 2 Im ni 2 Hê quả 3 Cho đuờng cong rR z R Rez a và hàm f giải tích trong nửa mặt phẳng D Rez a ngoại trừ hữu hạn điểm bấ t thuờng và lim f z 0. V À 0 lim I f z e dz 0 rR ương 4. Chuỗi Hàm Phức Và Thặng Dư Chứng minh Suy ra từ định lý bằng cách quay mặt phẳng một góc n 2. I Hê quả 4 Với các giả thiết nhu hệ quả 3 kí hiệu g z eÀzf z V À 0 I À feÀzf z dz VResg ak 2 ni Rea i Re ak Chứng minh Kí hiệu r rR u a - ip a ip với R đủ lớn để bao hết các cực điểm của hàm f z Theo công thức 1 1 1 a lp IeÀzf z dz íf z eÀzdz íeÀzf z dz V Resg a 2ni r 2n r 2n 4 Retr a Suy ra ip 2n JỊeÀzf z dz VResg ak - íf z eiÀzdz Cho p và sử dụng hệ quả 3 chúng ta nhận đuợc công thức Bài tập chuơng 4 1. Tìm miền hội tụ và tổng của các chuỗi sau đây. 1 - nin2n a. V ----- b. V n 0 z 2 n Í í z i n 1 2 c. V n 1 in 2 z i n n 2. Tìm miền hội tụ của chuỗi Marlaurin của các hàm sau đây. z2 2z 19 a. z 3 2 2z 5 d. 1 - z e-2z z 3z 1 b. . 7 c. _ 4 z2 z 2 3 e. sin3z f. ln 1 z2 3. Tìm miền hội tụ của chuỗi Taylor tại điểm a của các hàm sau đây. a. a 1 z 2 b. z2 1 6z 5 a 3 1 a c. 1 a 3i d. sin z2 4z a -2