tailieunhanh - Giáo trình hình thành hệ thống phân tích nguyên lý của hàm điều hòa dạng vi phân p1

Giả sử các h m m chúng ta nói đến sau đây khả tích tuyệt đối v do đó luôn có ảnh v nghịch ảnh Fourier. Kí hiệu f ↔ F với f(t) l h m gốc v F(ω) l h m ảnh t−ơng ứng. 1. Tuyến tính Nếu h m f v h m g khả tích tuyệt đối thì với mọi số phức λ h m λf + g cũng khả tích tuyệt đối. ∀ λ ∈ ∀, λf(t) + g(t) ↔ λF(z) + G(z) () Chứng minh | Giáo trình hình thành hệ thống phân tích nguyên lý của hàm điều hòa dạng vi phân Chứng minh Do hàm u điều hoà trong miền D đơn liên nên dạng vi phân I - u ydx u xdy là dạng vi phân đúng. Suy ra tích phân của nó không phụ thuộc vào đường lấy tích phân. Cố định a e D với mọi z e D hàm z v x y J - u ydx u xdy a thuộc lớp C2 trong miền D và thoả mãn điều kiện Cauchy - Riemann v x - uy và v y u x Suy ra hàm phức f z u x y iv x y là giải tích trong miền D và u Ref. Lập luận tương tự để tìm hàm f z sao cho u Imf. Ví dụ Cho hàm u x2 - y2 tìm hàm w f z giải tích sao cho u Ref Kiểm tra trực tiếp hàm u là hàm điều hoà u x 2x vy uy - 2y - v x và Au x uXy 0 Tìm hàm v điều hoà liên hợp với hàm u v x y J v xdx J 2ydx 2xy ọ y Đạo hàm theo biến y v y 2x ọ y 2x ọ y 0 ọ y C Suy ra hàm phức f z x2 - y2 i 2xy C là hàm giải tích cần tìm. Hê quả 1 Hàm điều hoà có đạo hàm riêng mọi cấ p và các đạo hàm riêng của nó cũng là hàm điều hoà. Chứng minh Theo các định lý ở trên u Ref với f là hàm giải tích. Khi đó đạo hàm các cấp của hàm f cũng là hàm giải tích và có phần thực phần ảo là các đạo hàm riêng của hàm u. Hê quả 2 Hàm điều hoà đạt trị trung bình tại tâm của hình tròn nằm gọn trong miền D. V R 0 B a R c D u a -1 f u a Reil dt 2n J0 Chứng minh Tương tự như trên u Ref với f là hàm giải tích. Theo công thức với n 0 u a Ref a -1 f Re f a Reil dt 1 2n J0 Hê quả 3 Hàm u điều hoà đạt trị lớn nhất trị bé nhất trên 3D. ương 3. Tích Phân Phức Chứng minh Sử dụng công thức và lập luận tương tự như chứng minh nguyên lý cực đại. Hê quả 4 Hàm điều hoà và bị chặn trên toàn tập số phức là hàm hằng. Chứng minh Tương tự như trên u Ref với f là hàm giải tích. Từ giả thiết hàm u bị chặn và công thức dưới đây suy ra hàm f bị chặn. Theo định lý Liouville suy ra hàm f là hàm hằng. Suy ra hàm u là hàm hằng. Công thức Schwartz Cho f z u x y iv x y giải tích trên miền D và B 0 R c D. V a e B 0 R f a -1- 2n 2 n 0 IR t a dt iv 0 - a Chứng minh Với mọi a e B 0 R 2n f a -L f