tailieunhanh - CHUYÊN ĐỀ 4: Các bài toán liên quan tới phương trình bậc hai và định lý Vi-et.

Tham khảo tài liệu 'chuyên đề 4: các bài toán liên quan tới phương trình bậc hai và định lý vi-et.', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | CHUYÊN ĐỀ 4 Các bài toán liên quan tới phương trình bậc hai và định lý Vi-et. Bài 1 Cho phương trình x2 - 2m 1 x m2 m -1 0 1. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m. 2. Chứng minh có một hệ thức giữa hai nghiệm số không phụ thuộc vào m. Giải 1. Ta có A 2m 1 2 - 4. m2 m - 1 5 0 suy ra phương trình luôn có nghiệm với mọi m vi-et ta có x1 x 2 2m 1 1 m2 m -1 2 Từ 1 suy ra m X1 x2 1 thay vào 2 ta có I x1 X 2 I - l 2 1 I x1 x2 I l 2 1 - 1 x1 .x2 x1 x 2 2 2 1 I I x1 x2 ---- --------------- J l 2 1 1. Ta có đpcm. Bài 2 Tìm những giá trị nguyên của k để biệt thức A của phương trình sau là số chính phương .x k-2 0 k 0 Giải Ta có A 2k-1 2 - . k-2 4k 1 . Giả sử 4k 1 là số cp khi đó nó là số cp lẻ hay 4k 1 2n 1 2 n là số tự nhiên. Hay k n2 n. Vậy để A là số cp thì k n2 n thử lại thấy đúng . Bài 3 Tìm k để phương trình sau đây có ba nghiệm phân biệt x-2 x2 k2 - 3 0 Giải Đặt f x x-2 x2 k2 - 3 x-2 .g x Để f s 0 có ba nghiệm phân biệt tương đương với g x 0 có hai nhgiệm phân 1XẮ. 1 A k2 4. k2 3 0 f2 k 2 biệt khác 2 hay G g 2 0 k 1 Bài 4 Tìm a b để hai phương trình sau là tương đương x2 3a 2b x - 4 0 1 và x2 2a 3b x 2b 0 2 với a và b tìm được hãy giải các phương trình đã cho. Giải -Điều kiện cần Nhận thấy pt 1 luôn có 2 nghiệm phân pt 2 cũng phải có 2 nghiệm phân biệt giống với 1 . Đặt f x x2 3a 2b x - 4 0 và g x x2 2a 3b x 2b. Để hai phương trình đã cho là tương đương thì f x g x với mọi x Vì hệ số của x2 của cả hai pt đều bằng 1 . Thay x 0 vào ta có b -2 3 . Thay x 1 vào kết hợp với 3 ta được a -2. -Điều kiện đủ Với a b -2 ta thấy hai phương trình tương đương với nhau. Bài 5 Giả sử b và c là các nghiệm của phương trình x2 - .a2 0 a 0 chứng minh b4 c4 2 V2 . Giải b c - a Theo định lý Viet ta có bc - 1 2a2 Ta có b4 c4 - b2 c2 2 - 2b2c2 - b c 2 - 2bc 2 - 2b2c2 A 1 3 1 . 3 . . r 3 b c - I a 7 I - a - - 2 2. J a . 2 j 6 2 2 v2. I a2 2a4 2a4 V 2a4 Bài 6 Chứng minh rằng với mọi a b c phương trình sau luôn có nghiệm