tailieunhanh - PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Tham khảo tài liệu 'phần ii các phương pháp chứng minh bất đẳng thức', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp 1 Dùng định nghĩa Kiến thức Để chứng minh A B. Ta lập hiệu A -B 0 Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M2 0 với V M Ví dụ 1 V x y z chứng minh rằng a x2 y2 z2 xy yz zx b x2 y2 z2 2xy - 2xz 2yz c x2 y2 z2 3 2 x y z Giải a Ta xét hiệu x2 y2 z2- xy - yz - zx - .2 . x2 y2 z2- xy - yz - zx 2 x - y 2 x -z 2 y - z 2 0 đúng với mọi x y z e R Vì x-y 2 0 vớiVx y Dấu bằng xảy ra khi x y x-z 2 0 vớiVx z Dấu bằng xảy ra khi x z y-z 2 0 vớiV z y Dấu bằng xảy ra khi z y Vậy x2 y2 z2 xy yz zx. Dấu bằng xảy ra khi x y z b Ta xét hiệu x2 y2 z2 - 2xy - 2xz 2yz x2 y2 z2 - 2xy 2xz -2yz x - y z 2 0 đúng với mọi x y z e R Vậy x2 y2 z2 2xy - 2xz 2yz đúng với mọi x y zeR Dấu bằng xảy ra khi x y z c Ta xét hiệu x2 y2 z2 3 - 2 x y z x2 - 2x 1 y2 -2y 1 z2 -2z 1 x-1 2 y-1 2 z-1 2 0. Dấu xảy ra khi x y z 1 Ví dụ 2 chứng minh rằng . a2 b2 a b ì2 . a ì b bài toán Giải c Hãy tổng quát . a a b b a b ì2 a Ta xét hiệu ----------I - I 2 2 2 a b a 2ab b 1 2 7 2 2 7 2 TA 1 í 7 2 - --- _------ ------- 2a2 2b2 - a2 - b2 - 2ab - a - b 0 4 4 4V 4 Vậy a1 b1 --- 2 Dấu bằng xảy ra khi a b b Ta xét hiệu a b c a b cì 1r 2 Ị 2 í vlK 7. 77A -3 - 1 3 9Ka-b b-c c-a a b c a b c ì 3 l 3 Dấu bằng xảy ra khi a b c . a2 a2 . a2 a1 a . an ì2 c Tổng quat -- ------- I -1- ------ I Tóm lại các bước để chứng minh A B theo định nghĩa Bước 1 Ta xét hiệu H A - B Bước 2 Biến đổi H C D 2 hoặc H C D 2 . . E F 2 a2 b2 c2 ----- ---- 3 a b c ì2 . 3 a b 2 Bước 3 Kết luận A B Ví dụ 1 Chứng minh Vm n p q ta đều có m 2 n2 p2 q2 1 m n p q 1 Giải - mn n n J - mp p2 J - mq q2 J m - m 1J 0 . m 2 m 2 Ệ m 2 m -n f-pJ f-qJ f- 1J 0 luôn đúng Dấu bằng xảy ra khi - n 2 m 2- p 0 1 m 2 - q 0 -1 l 2 m n 2 m 1p 2 o __ m q ị m 2 m 2 1 n p q 1 Ví dụ 2 Chứng minh rằng với mọi a b c ta luôn có a4 b4 c4 abc a b c Giải Ta có a4 b4 c4 abc a b c Va b c 0 a4 b4 c4 - aDc - b2ac - c2ab 0 2a4 2b4 2c4 - 2a2bc - 2b2ac - 2c2ab 0 a2 - b2 2 2a2b2 b2 - c2 2 2b2c2 c2 - a2 2 2a2c2 - 2a2bc - 2b2ac - 2c2ab 0 a2 - .