tailieunhanh - Một số đẳng thức và bất đẳng thức liên quan

Tham khảo tài liệu 'một số đẳng thức và bất đẳng thức liên quan', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN Dương Châu Dinh Trường THPT Chuyên Lề Quý Đôn - Quảng Trị . Tr g tài viết này xuất phát từ những đẩng thức cơ bản và ràng buộc các điểu kiện nếu cân thì chúng ta sẽ có một số bất đẳng thức liên quan. Minh họa điều này ta có các nhận xét và đề xuất một số bài toán sau Nhân xét 1 Giả sử a p là 2 số thực dương cho trước. Xét các số thực dương x y. Ta có 1 . a 1 _ 1 X 1 jA p P P xj p .y .x 1 12 1 jA . 1111 _ thl -7- 11- I hay ắ -i-xy ap a p X y X X y a p Từ đó ta được Nếu Bài toán lĩ Cha trước các số thực dương a p. Xét các số thực dương thoả mãn đồng P y x 1 xy ap 2 thời các điểu kiện Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x ý X y Lài giải Từ 1 4 1 x 1 . Theo BĐT Côsi với 2 số dương -í 1 2 âr ạy 2 apxy 2ap 4- X p X a 1 y . 1 1 y -T 1- pX a P X Dấu xảy ra o 1 1 2 1 í X y X y X x a y p Vạy maxP x y 4- khi a p 1 1 . 1 - 4- -a p X a .y p Vi du 1 Xét các số thực dương x y z thỏa mãn hề điều kiện sau 134 - z min x y 4 _ 12 3 XZ Y 2 .Tìm giá tri lớn nhất của biểu thức P x y z 15 X y z 3 Nhân xét Sử dụng bài toán 1 Chọn a 2 xét dấu xảy ra 2 3 Suy ra P x y z ắl3. Như vậy các bạn hãy thử chọn các giá trị a 3 0 và ràng buộc bởi hộ điểu kiện thích hợp thì sẽ cố một lớp các bài toán về bất đẳng thúc. Nhăn xét 2 Cho trước các số thực dương a p 0 Xét các số thực dương x y. Ta có a2 Px ay Y 2 1 x2 y 1-- - 2 ap J t p2 i Nếu thì X2 y2 a2 p2 Thay x bởi y khi đồ ii Nếu X y p Px ạy 2xy thì X2 y2 1 a2 p2 khi đố iii Nếu X y p 1 pk ay xy p .y .x ũộ Px lap Thì 135 1 11 1 r H s -T- -X2 y2 a2 32 Đưa đến Bài toán 2 Cho trước các số thực dương a Ị3 Xét các số thực dương x y thoả mãn hệ điều kiện Í0Zy x 1 ay px lap 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y 4- -V X y Ngoài sử dụng đẳng thức như trên ta còn có lời giải khác. Lời siải Từ 1 1-4 O X 14 y p X2 y2 14 Ả X2 p2 X2 a2 4 fl-44 X y X2 -V k-. Dấu xảy ra a p2 p2 X2 a2 X2 X a y p 2 X a y p Vậy maxP x y v - T- khi a2 p2 Ví du 2 Xét các số thực dương x y z thoả mãn hệ điểu kiện sau -U ắ z á min x y V2