tailieunhanh - Một cách chứng minh bất đẳng thức dạng phân thức

Tham khảo tài liệu 'một cách chứng minh bất đẳng thức dạng phân thức', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Một cách chứng minh bất đẳng THỨC DẠNG PHÂN THỨC Phạm Vằn Hùng Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên ĐHQGHN 1 Các bài toán Trong mục này chúng ta thường sử dụng bất đẳng thức trung gian sau đây. Bài toán 1. Với a b c là những số thực dương chứng minh rằng am n bm n cm n ambn r cn cmQn Giải. _ _ __ _ 771 nbm n Ta có ---nĩ n----- 0 mbn bất đẳng thức côisi với m 4- n số mbm n-ị-ncm n _ ------------- be m n mcm n nam n m _ -------------ca m n Cộng ba bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh. Để có được phương pháp giải đối với các bất đẳng thức dạng phân thức đơn giản này chúng ta rút ra những nhận xét từ các bài toán cụ thể. Bài toán 2. Với a b c là các số thực dương chứng minh rằng a5 ỏ5 c5 3 . 3 . 3 70 2 a b c 02 c2 a2 102 Giải. Ta có 2 4- aò2 2a3 tr 4- ỉ c2 2Ỏ3 c2 Ệị 4- ca2 2c3 à2 a3 4- 3 4- c3 ab2 4- bc2 4- ca2 Cộng bồn bất đẵng thức trên chúng ta thu được bất đẵng thức cần chứng minh. Nhân xét Để mõ tả các số hạng vế phải chúng ta phải sử dụng các số hạng có chứa mẫu số của các số hạng vế trái như ati2 bé2 ca2 . Bài toán 3. Với a b c là các số thực dương chứng minh rằng a5 ft5 c5 4- 4 7 bc ca ab .3 Giải. Ta có a 7- 4- abc 2a3 bc b5 . 4- abc 2b3 ca ì c5 7 4- abc 2c3 ab a3 4- b3 4- c3 3abc Cộng các bất đẳng thức ta thu được bất đảng thức cần chứng minh. Bàỉ toán 4. Với a b c là các số thực dương chứng minh rằng a5 b5 c5 a 3 b3 c3 ò3 c3 a3 b c a a Giải. Ta có a 75- 4- ab 2 T b 103 Suy ra 2a6 ab 2a2 _ . 0 0. b Tương tự 5 h3 77 26c 262 c3 c c5 c3 77 2ca 2c2 a3 a Ta có 2 a2 b2 2 a6 bc 4- cà Cộng các bất đẳng thức trên chúng ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh. Bài toán 5. Với a b c là các số thực dương phân biệt thoả mãn điều kiện a102 6102 C1O2 100 ĩõõ ĩõõ 1 Chứng minh rằng luôn tồn tại các số thực tự nhiên k p k 99 sao cho bất đẳng thức sau đây đứng Qfc 3 ò 3 c 3 1 a 2 6 2 c 2 r 1 Ã r ĩõõ Giải. Vì a b c là các số dương phân biệt nên ta có dây bất đẵng thức sau n 2 . 2 . 2 3 . 3 . c3 4 . 4 C4 0 a2 b2 c2 72 75 72 6. c a ờ2 c2 a2 aW2 102 102 ĨÕÕ ĨÕÕ .