tailieunhanh - Xây dựng BĐT một biến nhờ BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân và áp dụng

Tham khảo tài liệu 'xây dựng bđt một biến nhờ bđt giữa trung bình cộng và trung bình nhân và áp dụng', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Xây DựNG BẤT ĐẲNG THỨC MỘT BIẾN NHỜ BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN VÀ ÁP DỤNG Nguyễn Vũ Lương Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên ĐHQGHN Bài 1. Với 0 a 1 chứng minh rằng ữ l a i Giải. 1 1 Ta có a2 7 a H a l - aj - 4 4 dấu đẳng thức xảy ra khi a 1 2 1 Một số áp dụng Bài 2. Với 0 a b c 1 chứng minh trong ba đẳng thức a l - ố Ị b l-c ị c l - a 4 có ít nhất một bất đẳng thức sai. Giải. Giả sử 3 bất đẳng thức đều đúng. Suy ra aốc l-a l-6 l-c i 1 74 Mặt khác ta có a l - a ị 6 1 - b i c l - c 1 Nhân các bất đẳng thức trên ta thu được abc l - ữ l - ò l - c 2 Từ 1 2 suy ra mâu thuẫn bài toán được chứng minh. Bài 3. Với 0 a 1 chứng minh rằng 2 1 3 2 0. 1 a3 - J v 4 4 3 a l an - n 1 y n 1 Giải. 1 Ta có 3 1 1 1 1 ữ 4 4 3 y 7 ữ 3ự3 3ựã x 3 ự3 Suy ra ữ l a2 - v 3ự3 2 Ta có 4 1 1 1 a 4 q 4- 4- v f Cl 4 4 4 4 4v 4 3 Ta CÓ n l I Ị_1 J n T 1 y n 1 n 1 Ậ n 1 n số hạng 75 Suy ra a l ữ n n 1 Á n 1 Một số bài tập áp dụng Bài 4. Với a b c 0 thoả mãn điều kiện a2 b2 c2 1. Chứng minh rằng a b c 3 3 ò2 c2 c2 a2 ữ2 ò2 2 Giải. Bất đẳng thức đã cho tương đương với 3V3 2 đã chứng minh Vậy ta chỉ cần chứng minh a 1 a2 2 s 2 a l a 3ự3 Bài 5. Với ũ b c d là các số thực dương thoả mãn điều kiện a3 b3 c3 d3 1. Chứng minh rằng a2 b2 c2 d2 4 4 b3 c3 d3 c3 d3 a3 d3 a3 ờ3 a3 b3 c3 3 Giải. Ta có 3 - a2 b2 c2 d2 1 a3 l ò3 1 - c3 1 - d3 .3 ố3 c3 i3 Vậy ta chỉ cần chứng minh a2 1 a3 ó 3 4 4 .