tailieunhanh - Chuyên đề bất đẳng thức và cực trị

Tài liệu giảng dạy về toán đã được giảng dạy với mục đích cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản nhất, có tính hệ thống liên quan tới toán học. Thông qua tài liệu này giúp các bạn hệ thống lại kiến thức. Chúc các bạn thành công | CHUYÊN ĐÈ BẤT ĐẴNG THỬC VÀ cực TRỊ Luyện Thi Đại Học Và Cao Đãng dụng một số BĐT eơ bản na1a2. .an I dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Cấe BĐT eo bản ở đây là BĐT Cô-Si Với n số không âm bất kì a1 a2 . .an n 2 ta luôn có a aọ . a 1 2 ------n- n a1 a2 . an. BĐT Bunhiaeôpxki Với hai bộ số thựe bất kì a1 a2 . .an b1 b2 . bn ta luôn có ab ab . a b 2 a2 a2 . a2 b2 b . b2 II dấu bằng 1122 n n 12 n 12 n xảy ra khi và chỉ . a a. Khi 21 2 b1 b2 khi a b c. 11 BĐT . ---------------- a1 a2 an a1 a2 . a dưong dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi eấe số này bằng nhau. n BĐT a2 b2 c2 ab bc ca III dấu bằng xảy ra b n2 1 IV trong đó a1 a2 .an là các số n Bài 1 Cho a b 0. Chứng minh . 1 . 4 . 1 a a _ _ 3 b a -- - 3 c a - - b a b a b b 1 2 b a b 2 Giải a Theo BĐT I ta eó b a b ----- b a b 33 b. a b 3 V b a b đpem . Dấu bằng xảy ra khi b 1 a 2. Bài 2 Cho a 1 b 1. Chứng minh a b 1 b a 1 ab. 1 Giải Theo BĐT I ta eó ajb 1 aJ b 1 .1 a. Ị_ _. tương tự ta 2 2 cũng eó b a -1 khi a b Bài 2 ab . Cộng eáe vê eủa eáe BĐT này lại ta sẽ đượe đpem. Dâu băng xảy ra 2. a b c là ba số không âm eó tong băng 1. Chứng minh ab bc ca - abc 8 27. rT 1 T. r T 7Ĩ X 1 777Ĩ 7 1 -- a 1 -- b 1 --- c 2 Giải Theo BĐT I ta eó .ự 1 - a 1 - b 1 - c ------------7 ì------------------- 3 1 - a - b - c ab bc ca - abc ab bc ca - abc 8 27 đpem . Dâu băng xảy ra khi a b c 1 3. Bài 3 Cho ba số không âm a b e. Chứng minh a3 b3 c3 a2 Jbc b24ẽã c2y ãb . Giải Theo BĐT I ta eó 4a3 b3 c3 66 a3 b3c3 6a2 yỊbẽ tương tự ta cũng eó 4b3 c3 a3 6b2 y ca 4c3 a3 b3 6c2 slab cộng eáe vê eủa eáe BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ đượe BĐT eần ehứng minh. Dâu băng xảy ra khi a b e. Bài 3 Cho ba số dương x y z. Chứng minh x y z 6 xy2z3 432. Bài 4 Tìm GTNN của biểu thứe P x y 9 x3y6 trong đó x y là eáe số dương. Giải Theo BĐT I ta eó x y 3 6 c 3 A6 x ỉ è 3 0 è 6 0 o P Vậy GTNN eủa p băng 39 26 khi y 2x. Bài 5 Ba số thựe a b e thỏa mãn hệ thứe a6 biểu thứe .S a2 b2 c2 x y 9 99 3 6 2 6 06 xy 36 2 b6 c6 3. Hãy tìm GTLN của Giải Theo BĐT I ta eó