tailieunhanh - Tài liệu tham khảo môn Toán: Bất đẳng thức

Tài liệu giảng dạy về toán đã được giảng dạy với mục đích cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản nhất, có tính hệ thống liên quan tới toán học. Thông qua tài liệu này giúp các bạn hệ thống lại kiến thức. Chúc các bạn thành công | http 1 ais ac .p age .tl PHLTƠNG PHÁP ĐựA VÈ MỘT BIÉN TRONG CẤC BÀI TOÁN cực TRỊ VÀ CHÚ NG MINH BÁT ĐẰNG THỨC Nguyền Tất Thu Trần Văn Thương 5 1 BĐT và cực trị thường gây khó khăn cho không ít thí sinh trong các kì thi ĐH - CĐ . Trong bài viết này tôi xin giới thiệu với các bạn một kĩ thuật quen thuộc mà chúng ta thường gặp trong chứng minh BDT đó là kĩ thuật Đưa về một biến 5 4 1 Ví dụ 1. Cho x 0 y 0 và x y . Chứng minh I---- 4 x 4y Lời giải Ta có x y 4y 5 - 4x 1 ---1 4 x 5 - 4x Xét f x - x e f 0 51 f x - -ị- -----4 - x 5 - 4x I 4 I x2 2 x 5 - 4x Từ bảng biến thiên ta được min f x f 1 5 từ đó suy ra 4 -1 5 . f 5 x 4y I0 41 Đẳng thức xảy ra khi x 1 y 1. 4 5. f x 0 x 1 Ví dụ 2. Cho x y e -3 2 ì thỏa x3 y3 2. Tìm GTLN GTNN của biểu thức P x2 y2. Lời giải. Từ giả thiết ta suy ra được x 32 - y3 thay vào P ta được P 3 2 - y3 2 3 7 2 3 2 - t 2 3Ĩ2 f t Trong đó ta đã đặt t y3. Vì x e -3 2 x3 e -27 8 -27 2 - y3 8 -6 y3 29 do y3 e -27 8 t e -6 8 . 2 2 Xét hàm số f t trên D -6 8ì ta có f t -----. 331 -1 f t 0 32 - t 3t t 1. Dựa vào bảng biến thiên ta có được min P min f t f 0 f 2 34 Đạt được khi x y e 0 32 . t -6 0 1 2 8 f 0 - f max P max f t f -6 4 336 . Đạt được khi x y e -33 2 . Nhận xét Cách giải trên chỉ đòi hỏi chúng ta kĩ thuật khảo sát hàm số. Cái khó của bài toán trên là điều kiện hạn chế của x y e -3 2 ì Nếu x y không bị ràng buộc bởi điều kiện này thì bài toán trở nên đơn giản và ta có thể giải bài toán trên theo cách chuyển qua tổng và tích của x y. 1 Nguyễn Tất Thu Đặt a x y b xy 3ab 2 4b h a3 2 fa a2 4 3. 2 I 3a a3 8 3a n _ J2 .V _ J2 2a3 4 a2 4 . . Khi đó P a 2b a--------- - I - f a 3a 3 3a 2a 4 Xét hàm số f a với a e D 0 2 có f a 3 3a2 2a3 4 3a 2 f a 0 a 32 .bLập ảng biến thiên ta có ngay min P f 32 34 Đạt được khi x y e 0 32 . a 3 2 a 0 0 a 2 lim f a P không có GTLN. a 0 Khi gặp bài toán mà các biểu thức có trong bài toán là các biểu thức đối xứng hai biến thì ta có thể chuyển về bài toán của tổng và tích hai biến đó với lưu ý S2 4P . Ví dụ 3. Cho a b c