tailieunhanh - BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA CÁC CẠNH, CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC

Tham khảo tài liệu 'bất đẳng thức giữa các cạnh, các đường trong tam giác', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA CÁC CẠNH CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC Bài 30. Cho tam giác ABC. Gọi a b c và ha hb hc lần lượt là các cạnh và các độ dài của các đường cao kẻ từ A B C R là bán kính đường tròn ngoại tiếp và S là diện tích tam giác ABC. Chứng minh rằng n 6 3 . 61 3 . sn DC - a . b . c 3R a hb b h3 c h3 96RS 2 . h2 h2 h2 S D c a Giải 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương ta có a6h 3 b6h3 c6h3 3a2h .b2h .c2h 3abc ah bh .ch . b ca b c a a b c Lại có 8S3 abc 4RS. Suy ra a6hb b6h3 c6h3 96RS4. D ca đpcm Dấu xay ra a6hb D6h3 ch D ca ah bhb ch a D c a Dc D3 a2c a b c . c3 ab2 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương ta có a b c 77 r T 33 h 2 h2 h Ãi Hb Hc Ha abc 3abc 3 aha bhb .chc 2 39 Lại có 8S3 abc 4RS đpcm a b c 3R 7 t z A 7 hị h hl 2S 2 S a2 bc a b xảy ra hb2 h2 c h2 Dấu j b2 ca a b c. c2 ab Mở rộng Với mọi tam giác ABC ta luôn có p V a p e P . Chứng minh dành cho bạn đọc . Bài 31. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a b c S là diện tích. Chứng minh rằng a2 b2 c2 4a 3S a -b 2 b -c 2 c-a 2. Giải. Ta có a2 - b - c 2 b2 - c - a 2 J ịc2 - a - b 2 4yỊĨS p -b p - c p- c p - a p- a p -b V3S với p là nửa chu vi . Đặt x p-b y p - c x y z 3p - a b c p. z p - a Ta lại có S ạJp p - a p - b p - c . Khi đó tương đương với xy yz xz 3xyz x y z 40 x2y2 y2z2 z2x2 2xyz x y z 3xyz x y z x2y2 y2z2 z2x2 xyz x y z . Lần lượt áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có 22 22 2 22 22 2 22 22 2 x y y z 2xy z y z z x 2xyz z x x y 2 x yz. Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta được x2y2 y2z2 z2x2 xyz x y z . đpcm Dấu xảy ra x2y2 y2z2 z2x2 x y z a b c. Nhận xét Từ bất đẳng thức ta có bất đẳng thức ab bc ca 4yÍ3S . Thật vậy ta có 2 ab bc ca W3S a2 b2 c2 ab bc ca 4ạ 3S do a b c ab bc ca . Để chứng minh ta không nhất thiết phải chứng minh mà có thể chứng minh trực tiếp như sau Theo công thức tính diện tích S thay vào ta có . . _ Tãabc ab bc ca R .