tailieunhanh - Tuyền tập một số bài Toán thi học sinh giỏi về dãy số

Cùng tham khảo tuyển tập một số bài Toán thi học sinh giỏi môn Toán về dãy số giúp các em ôn tập lại các kiến thức đã học, đánh giá năng lực làm bài của mình và chuẩn bị kì thi được tốt hơn với số điểm cao như mong muốn. | Gv Nguyễn Nhuận Trường THPT Yên Thành 3 TưyỂN TẬP MỘT số BÀI TQÁN DÃy số THI HSG Dx n .a . 2n -1 . Bàil Tính tông S 2 2 2 . - . 2n giai Đặt Sn 1 3 5 2n -1 7 T . 2 22 23 2n _ 3 5 7 2n -1 _ 2S 1 T- . n 2 22 23 2 S 1 1 7 . n 2 22 . T737 2n-2 2n -1 . 1. 1 2n-1 2 2n 3 2n 1- 2n 2n 1 ì 1 1 1 2n -1. -- - 3 - 2 Vậy S limSn 3. n TO Bài 2 Cho dãy un với u 7 1 3 u 10 2 5 u 13. 3 -y- . Chứng minh rằng khi n x dãy có giới hạn là Ậ. 2 Giải. Mỗi số hạng của dãy là một phân thức các mẫu thức lập thành CSC có U1 3 d 2 số hạng tổng quát wn 3 n - 1 .2 2n 1 n 1 2 . các tử thức lập thành CSC có U1 7 d 3 số hạng tổng quát vn 7 n - 1 .3 3n 4 n 1 2 . Vậy un v n 4 n 1 2 . Limun lim n 4 3. n wn 2n 1 n 2n 12 Bài 3. Cho CSC a1f a2 . và CSN b1 b2 . thỏa mãn a1 b1 a1 a2 2b2 a1 a2 a3 b1 b2 b3. Tìm 2 cấp số đó. Giải. gt a1 b1 a2 2b2 - b1 a3 b1 - b2 b3 và a1 a3 2a2 nên 2b1 - b2 b3 4b2 - 2b1 4b1 - 5b2 b3 0 . Mặt khác b1 b2 . là CSN nên b2 qb1 b3 q2b1 thay vào b1 q2 - 5q 4 0 b1 0 V q 1 V q 4. Từ đó tìm được các cấp số là CSC b1 b1 . CSN b1 b1 . Hoặc cSc b1 7b1 13b1 . CSN b1 4b1 16b1 . Bài 4. Cho 2 dãy số un và vn thỏa mãn u1 1995 v1 1997 Un 1 1 un V. Vn 1 2U Vn n 1 2 2 un Vn Gv Nguyễn Nhuận Trường THPT Yên Thành 3 Chứng minh rằng un 1 . 22n - Vn 1 Vn 1. Giải. gt un 0 vn 0 Vn 1 2 . Ta có Un 1 - Vn 1 1 un V. - 21 V u - v 0 Vn 1 2 2 Un Vn 2 un Vn u -v Un 1 Vn 1 Vn 1 2 . 0 2 V 1 Vn 2 3 . un Vn 2 un - vn Vn 2 3 . 2 un Vn n n _ u1 - V1 2 Un 1 - Vn 1 Un - Vn U2 - V2 2 u V1 4 2 1995 1997 L 1. 1996 n . 22 . _ Mặt khác dê thay 1. Từ đó sUy ra . Bài5 . Cho dãy số Un thỏa mãn Uo 2 U1 6 Un 1 6Un 2Un - 1 n 1. Tìm công thức tính Un theo n. Giải Phương trình đặc trưng của dãy số là x2 6x 2 có 2 nghiệm phân biệt x1 3 - vn x2 3 Vũ. Ta chứng minh un 3 V11 1 3 VH n n 0 1 2 . Thây Vậy Vởi n 0 u0 3 - Vn 0 3 Vn 0 2 đúng Vởi n 1 u1 3 -Vũ 1 3 Vũ 1 6 đúng. Vn 1 ta có 6Un 2Un - 1 6 3 V11 1 6 3 VH n 2 3 v11 H-1 2 3 Vũ n-1 3 - VH n-1 20 - 6VH 3 V11 20 6VŨ 3 - VH n 1 3 11 1 un 1 . Bài 6. Dãy số Un được xác