tailieunhanh - Một số bài toán số học trong các kì thi olympic toán học

Tài liệu tham khảo về Một số bài toán số học trong các kì thi olympic toán học. | MỘTcSổBẰI TOÁN SỔ HỌC TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁN Trần Xuân Đáng - Nam Định Trong kỳ thi Olympic toán Quốc tế lần thứ 49 được tổ chức tại Tây Ban Nha có bài toán sau bài toán 1 mà tác giả của nó là Kestutis Cesnavicius Lithuania Litva . Bài toán 1 Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n sao cho n2 1 có ước nguyên tố lớn hơn 2n yỊĩn Bài toán này là bài toán khó nhất của ngày thi thứ nhất. Lời giải của bài toán 1 được phát triển từ lời giải của các bài toán đơn giản hơn sau đây Bài toán 2 Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n sao cho n2 1 không là ước của n . Đề thi chọn đội tuyển của Inđônêxia dự thi Toán Quốc tế năm 2009 . Lời giải của bài toán 2 Bổ đề Tồn tại vô số số nguyên tố dạng 4k 1 k e N Chứng minh Gọi A là tập hợp gồm tất các số nguyên tố dạng 4k 1 k e N Khi đó A rỗng vì 5 e A. Giả sử A là tập hữu hạn. Gọi p0 là phân tử lớn nhất của A p0 5 . Giả sử pb p2 . pn là tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn p0. đặt a 4 p02 1 khi đ a e N a 1. Giả sử q là ước nguyên tố của a q pi i e 0 1 2 . n . Mặt khác 2p0p1. pn 2 1 0 modq - 1 là số chính phương modq và q lẻ. Suy ra I I 1 -1 2 1 íq ý 2 q 1 mod 4 q có dạng 4k 1 k e N . Mặt khác èq 0 2 q p0. Điều này mâu thuẫn với cách chọn p0. Vậy tồn tại vô số số nguyên tố dạng 4k 1 ke N . Chúng ta chuyển sang việc giải bài toán 2. Giả sử p là số nguyên tố dạng 4k 1 k e N I 11 - 1 2 1 -1 là số chính phương modp è p 0 np e 0 1 2 . p - 1 sao cho np - 1 modp np 1 p và np không chia hết cho p np không chia hết cho np 1. Ta có np 1 p np .ựp - 1. Vì tồn tại vô số số nguyên tố p dạng 4k 1 ke N nên tồn tại vô số số nguyên dương n sao cho n2 1 không là ước của n Bài toán 3 Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n sao cho ước nguyên tố lớn nhất của n2 1 lớn hơn 2n Tạp chí Animath của Pháp năm 2006 Lời giải của bài toán 3 Giả sử p là số nguyên tố dạng 4k 1 k e N Suy ra I 1I -1 2 1 -1 là số chính phương modp è p 0 x e 0 1 2 . p - 1 sao cho x2 - 1 modp . Ta có q2 p- q 2 modp q e Z q e 0 1 2 . p- 1 sao cho q2 -1 modp