tailieunhanh - Chuyên đề bất đẳng thức Côsi và Bunhacopki

Chuyên đề bất đẳng thức côsi và bunhacopki | KHO TÀNG TOÁN HỌC Bất đàng thức cauchY-bunYakovski-schWarz GABRIEL DOSPINESCU - TRẨN NAM DŨNG ùng với các bất đảng thức BĐT giừa trung bình cộng và trung bình nhân Schur. Jensen và Hôlder BĐT Cauchy-Bunyakovski-Schwarz CBS là một kết quả kinh điền có nhiều ứng dụng. Câu hỏi quan trọng nhất ở đây là làm sao ta nhận biết được một bắt đăng thức có thể giải bàng phương pháp này Rất khó cỏ thể nói một cách rỏ ràng nhưng cỏ lẽ là nên nghĩ đến BĐT CBS khi ta thấy tổng cùa các cản thức tổng của các bình phương hay đặc biệt là khi ta có các biểu thức chứa căn. Đẩu tiên ta sỗ xét một sổ bài toán mà trong lời giải áp dụng BĐT CBS ở dạng kinh dien Khó khăn lớn nhất là chọn a và b . Ta sẽ thấy rảng trong một vài trường hợp điều này là hiển nhiên trong vài trưởng hợp khác lại không đơn giản chút nào. Sau đây chúng ta giãi một số bải toán. Thi dụ 1. Chứng minh rằng nếu x y z là các số thực thoả mân điều kiện X2 y2 z2 2. thì bất đẳng thức sau đây đúng-. x y z 2 xyz. Đẻ đê nghị IMO. Ba Lan Lời giải. Tại sao ta lại nghĩ đến BĐT CBS Nguyên nhân là BĐT cẩn chứng minh có dạng x l-yz y z 2 vả ta cần phải đánh giá thông qua tổng x2 y2 z2. Tuy nhiên có rẩt nhiều cách để áp dụng BĐT CBS. Chọn lựa x l-yz y z 2á x2 y2 z2X2 l-yz 2 không mấy thành công. Vi thể có thề sẽ tốt hơn ncu coi y z như một sổ hạng. Ncu chúng ta để ý răng bất đẳng thức cỏ dấu băng chảng hạn khi X l y I và z 0 chọn lựa x l-K y 2 7 x2 y z 2Xl l-yz 2 trở nên khá tự nhiên. Như thế cần chứng minh 2 1 yzX2-2yz y2z2 s4oy3z3 Sy2z2 điều này hiển nhiên vì 2èy2 z2è2yz. Một ứng dụng không tầm thường khác cùa BĐT CBS là bài toán sau. Thí dụ 2. Cho là các sổ thực dưưng thoà màn điều kiện ax by cz xyz. Chúng minh rằng x y z yJa b b c Ịc a. Lởi giải. Ta viết 1 và phép thế yz zx xy a yzu ZXV và c xyw trở nên tự nhiên. Như vậy cần chứng minh yjz yu xv Jxtzv yw Jy zu xw x y z với u V w I. Có thế thấy dạng của BĐT CBS yjz yu xv Jx zv yw ựy zí4 XM J x y z yu yw XV XH z u zv và biểu thức cuối cùng nhỏ hơn x y z 2 vì u V w I. Ta .